3.1.Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара.

Исходные данные:

первая фирма – выпуск х₁ = 30, себестоимость продукции α₁ = 6;

вторая фирма – выпуск х₂ = 50, себестоимость продукции α₂ = 3.

Характеристики рынка c = 90, b = 1.

Задание:

1. Найдите прибыли двух фирм.

2. Рассмотрите стратегии Курно, Стакельберга и монополию.

Решение:

1.Рассмотрим две фирмы (i = 1,2) ,выпускающие один и тот же товар. Пусть затраты первой фирмы при выпуске х₁ = 30 равны х₁ ·α₁ = 30·6 = 180, т.е. α₁ = 6 –себестоимость выпуска одной единицы продукции первой фирмы. Аналогично затраты второй фирмы при выпуске х₂ = 50 равны х₂ ·α₂ = 50·3 = 150, т.е. α₂ = 3 –себестоимость выпуска одной единицы продукции второй фирмы.

Произведенный обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Цена на товар линейно падает в зависимости от поступающего на рынок общего его количества х = х₁ + х₂ , т.е. р(х)= с – bх ,с,b>0. Следовательно, х = 30 + 50 = 80, а цена товара на рынке – р(х)= 90 – 80 = 10.

Найдем прибыль i-той фирмы:

W(х₁, х₂) = х_i · (с – bх) – α_i·х_i = b·х₁· (d_i – (х₁ + х₂ )), где d_i = (c – α_i )/b.

Следовательно, прибыль первой фирмы равна W₁ = х₁ · (с – bх) – α₁·х₁ = = 30·10 – 30·6 = 120, второй – W₂ = х₂ · (с – bх) – α₂·х₂ = 50·10 – 50·3 = 350, а d₁ = 84, d₂ = 87.

Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е. объем ее выпуска х₁. Тогда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации прибыли: W₁/ х₁ = b· d₁ – (х₁ + х₂ ) – b·х₁ = 0,т.е. х₁^*= (d₁ – х₂ )/2 = (84 – 50)/2 = 17. Аналогично бы действовала бы и вторая фирма, т.е. выбрала бы свой выпуск в объеме х₂^*= (d₂ – х₁ )/2 = (87 – 30)/2 = 28,5.

2. Предположим, что α₁= α₂ = 6, тогда d₁ = d₂ = d = 84.

А. Стратегия Курно. Предположим, что производственные циклы фирм совпадают и фирмы выбирают свои оптимальные выпуски, зная объем производства своего конкурента за прошлый период и, предполагая, что такой же объем будет и данный период. На множестве двумерных векторов рассмотрим отображение Курно F(x₁,x₂) = ((d – x₂)/2,(d – x₁)/2). Можно доказать, что при любом начальном векторе X₀ последовательность итераций-векторов X_k= F^k(X₀) = = F(F^k-1(X₀)), k = 1,2,… сходится к вектору с координатами x^K₁ = d/3 = 28, x^K₂ = d/3 = 28. Эта точка называется точкой Курно К(28;28).

Итак, в этом случае:

прибыли фирм W₁ = W₂ = b·d²/9 = 784, суммарная прибыль W^K = 2·b·d²/9 = 1568, цена на товар p^K = c – 2·b·d/3 = 34.

Б. Стратегия Стакельберга. Что будет, если одна из фирм сознательно раскроет свою стратегию? Пусть, например, первая фирма даст возможность второй узнать объем своего выпуска х₁, тогда вторая фирма ответит оптимальным для нее образом: х₂^*= (d – х₁ )/2. Первая фирма будет теперь действовать, исходя именно из такого поведения второй фирмы. Но, конечно, прежде чем довести до сведения второй фирмы свой ход, первая просчитает этот ход, исходя из максимизации прибыли:

W₁(х₁) = b·х₁· (d – х₁ – (d – х₁ )/2) = b·х₁· (d – х₁ )/2,

W₁/ х₁ = b· (d –2х₁)/2 = 0 → х₁^S = d /2,

откуда и получаем точку Стакельберга х₁^S = d /2 = 42 , х₂^S = d /4 = 21.

x₂

точка Курно

28 К

S

21

точка Стакельберга

0 28 42 х₁

Прибыли фирм при этом равны W₁^S = b·d² /8 = 882 > W₁^K, W₂^S = b·d² /16 = 441 < W₂^K, суммарная прибыль W^S = 3b·d² /16 = 1323 < W^K, т.е. прибыли первой фирмы больше, а прибыли второй и суммарная прибыль меньше, чем в точке Курно. Цена на товар p^S = c – 3·b·d/4 = 27 < p^K и она меньше, чем в точке Курно.

В. Монополия (объединение двух фирм). Пусть теперь фирмы объединятся (тем самым они образуют монополию своего товара на рынке), тогда суммарная прибыль равна W(x) = b∙x∙(d – x), максимум прибыли достигается при выпуске x^* = d /2 = 42 < x^K = 2·d/3 = 56 < x^S =3·d/4 = 63 , при этом прибыль фирмы и цена ее товара равны:

W^* = b·d² /4 = 1764 > W^K,

p^* = c – b·d/2 = 48 > p^K > p^S.

Результаты исследований сведены в таблицу:

	X1	X2	X	W1	W2	W	P
точка Курно	28	28	56	784	784	1568	34
точка Стакельберга	42	21	63	882	441	1323	27
Монополия			42			1764	48

Для потребителя наиболее предпочтительна точка Стакельберга, в которой цена Р=27 товара самая низкая, объем производства Х=63 самый высокий, а менее всего благоприятна ситуация монополии или картеля, в которой цена товара самая наибольшая Р=48, выпуск самый малый Х=42, зато суммарная прибыль самая большая W=1764.