4.1.Модель распределения богатства в обществе.

Исходные данные:

p = 0,3 , F(x) = 1 – (1000/1000 + x)¹¹

Задание:

1. Для функции F(x) найти:

а)средний месячный доход;

б)размер месячного дохода, который для случайно выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью

2. Убедитесь, что средняя величина подоходного налога, уплачиваемого за

_∞

месяц налогоплательщиком, равна ∫ N(x)∙f(x) dx , где f(x) – плотность

⁰

распределения дохода (производная функции F(x)),а N(x) – величина подоходного налога с месячного дохода x.

3. Найдите коэффициент Рейнбоу.

Решение:

Пусть F(x) есть доля получающих месячный доход меньше x по отношению ко всем, имеющим какой-нибудь денежный доход (всех таких членов общества назовем налогоплательщиками). Функцию F(x) вполне правильно трактовать, как функцию распределения случайной величины I – месячный доход случайного налогоплательщика.

F

1

0.9

0.1

0 10 233 х

1.

а) Найдем средний месячный доход. Сначала найдем плотность f(x) распределения с.в. I. Она есть производная функции F(x). Таким образом,

f(x) = F’(x) = (1 – (1000/1000 + x)¹¹ )‘= – 1000¹¹∙ (1000 + x) ^{– 11} =

= – 1000¹¹∙ (–11) ∙ (1000 + x) ^{– 12} = 0,011∙ (1000/1000 + x) ^–12

Средний месячный доход I есть математическое ожидание с.в. I,т.е.

_{∞ A A}

I = M[I] = ∫ x∙ f(x)dx = lim ∫ x∙ f(x)dx = lim ∫ x ∙ 0,011∙ (1000/1000 + x) ^–12 =

^{0 A→∞ 0 A→∞ 0}

=

I = 1000/11 – 1 = 100 (91)

б) Найдем размер месячного дохода B_p, который для случайно выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью р = 0.3 . Так как F(x) есть вероятность P(I<x), то

P(I>B) = 1 – F(B_p) = p ,

(1000/1000+ B_p)¹¹ = 0,3  B_p = 1000 (0,3 ^–1/11 – 1)  B_p ≈ 1000∙ 0.15567 ≈ 115,67

Размер месячного дохода, который для случайно выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью р = 0.3 равен 115,67.

3. Найдем коэффициент Рейнбоу, который показывает отношение минимального дохода 10% членов общества с самыми высокими доходами к максимальному доходу 10% членов общества с самыми низкими доходами.

F(x) = 0,9  1 – (1000/1000+x)¹¹ = 0,9  x_0,9 = 1000∙(10^1/11 – 1) ≈ 233

F(x) = 0,1  1 – (1000/1000+x)¹¹ = 0,1  x_0,1 = 1000∙((10/9)^1/11 – 1) ≈ 10

x_0,9 233

Rn = —— = —— = 23,3

x_0,1 10

Так как Rn > 10, то распределение доходов называется несправедливым.