2.3.Задачи формирования эффективных портфелей ценных бумаг.

Исходные данные:

e₀ = 2, e₁ = 3, e₂ = 6, σ₁ = 7, σ₂ = 12

Задание:

1. Сформировать оба портфеля – портфель минимального риска из всех, имеющих заданную эффективность и портфель максимальной эффективности из всех, имеющих заданный риск.

2. Выписать структуру рисковой части портфелей.

3. Выписать зависимости эффективности и риска друг от друга.

4. Выписать зависимость доли безрисковых вложений от эффективности и риска портфелей.

Решение:

1.На финансовом рынке обращается, как правило, множество ценных бумаг. Ценная бумага удостоверяет возможность получения некоторого дохода. В общем случае владелец получит некоторый случайный доход. Из характеристик ценных бумаг наиболее значимы две: доходность и рискованность. В общем случае, доходность есть случайная величина и ее математическое ожидание называют эффективностью e. При исследовании финансового рынка дисперсию с.в.  доходности обычно называют вариацией  и рискованность обычно отождествляется со средним квадратическим отклонением . Таким образом,

 = D[ ] = [( - e)²] и  =√ .

Сформируем портфель минимального риска из всех, имеющих заданную эффективность. По условию нам известно: е₀ = 2 – эффективность безрисковых бумаг, эффективности некоррелированных рисковых ценных бумаг e₁ = 3 и e₂ = 6, риски σ₁ = 7 и σ₂ = 12, т.е.

σ_p = 7x₁ + 12x₂ → min,

2x₀ + 3x₁ + 6x₂ = e_p,

x₀ + x₁ + x₂ = 1.

_{3 7 0}

Итак, е₀ = 2, Е = , V = . Зададимся эффективностью портфеля е_р.

^{6 0 12}

Оптимальное значение долей x_i рисковых бумаг рассчитывается по формуле:

e_p – e₀

X_i = ——————————— ∙ V^-1 ∙∙(E - e₀ ∙I).

(E - e₀ ∙I)^T ∙V^-1 ∙(E - e₀ ∙I)

_{1/7 0}

Найдем матрицу, обратную матрице V: V^-1 = .

0. ^1/12

_{1/49 0 1 1/49}

Вычислим знаменатель: V^-1 ∙(E - e₀ ∙I) = = , так что

^{0 1/144 4 1/36}

_1/49

(E - e₀ ∙I)^TV^-1 ∙(E - e₀ ∙I) = ( 1 , 4 ) = 1/49 + 4 ∙1/36 = 58/441.

^1/36

Итак, вектор долей рисковых бумаг есть

_{1/49 9(ер – 2)/58}

Х^* = ((е_р – 2 )441/58 ∙ = .

^{1/36 49(ер – 2)/232}

Таким образом, доля рисковых ценных бумаг первого вида равна 9(е_р – 2)/58,а второго вида – 49(е_р – 2)/232.

Найдем долю безрисковых ценных бумаг:

Х^* = 1 – (х₁ + х₂) = 1 – (9(е_р – 2)/58 + 49(е_р – 2)/232) = 1 – 85(е_р – 2)/232

.