Курсовики по прикладной математики / Вар 10 / Математика 3

3.3.Матричная игра с нулевой суммой как модель сотрудничества и конкуренции двух участников.

Исходные данные:

1 2 – 4 0

–2 0 2 –3

Задание:

1. Решить матричную игру с данной матрицей графически; в общем случае оптимальные стратегии игроков будут содержать только две отличные от нуля вероятности.

2. Проанализировать данную матричную игру и найти риск игры.

3. Отметить, как в этой игре проявляется конкуренция между игроками и сотрудничество между ними.

Решение:

1. Рассмотрим графическое решение игры 2х4 с матрицей {a[i,j]}. Обозначим искомую оптимальную стратегию первого игрока Р*(х, 1–х) – это вектор-столбец, но для удобства записываем его в виде строки. Обозначим v(x,j) – средний выигрыш первого игрока в расчете на партию, когда первый использует стратегию (х, 1–х), а второй - j-ю чистую стратегию (j= 1,…,4). Возьмем на плоскости систему координат: по горизонтальной оси вправо откладываем х, по вертикальной оси – значения функций v(x,j). Функции v(x,j) линейные, значит, их графики – прямые линии I,II,III,IV.

4

3

2 II

1 I

0 1

-1

-2 M

-3 IV III

-4

Находим нижнюю огибающую семейств этих четырех прямых над отрезком 0,1. Находим самую высшую точку этой ломаной М, которая и дает решение игры. Эта точка есть пересечение v₃ = -6х+2 и v₄ = 3х –3 прямой. Найдем координаты

4 5 5/9

точки М(х₀,):х₀ = – — и v = — . Оптимальная стратегия первого игрока есть Р*= ,

3 9 4/9

цена игры есть v = -4/3. Найдем оптимальную стратегию второго игрока Q*. Берем III и IV прямые и обозначаем y, 1-y – вероятность выбора вторым игроком соответствующих столбцов.

0 0 y 1-y

x 1 2 – 4 0

1-x –2 0 2 –3

Получили с.в. ζ (х,у):

ζ (х,у):	1	2	-4	0	-2	0	2	-3
	х∙0	х∙0	х∙у	х∙(1-у)	(1-х) ∙0	(1-х) ∙0	(1-х) ∙у	(1-х)(1-у)

Найдем математическое ожидание этой с.в.:

M[x,y]= 0 + 0 + (-4)∙xy + 0 + 0 + 0 + 2y∙(1-x) + (-3)∙(1-x)(1-y) = -9xy + 3x + 5y –3 =

= -9(x-5/9)(y-1/3) – 4/3. Т.е. оптимальное решение второго игрока Q*= (0,0,1/3,2/3)

2. Найдем риск игры, который равен среднему квадратическому отклонению с.в. ζ (х,у), т.е. r = √D[ζ (х,у)]. Найдем дисперсию выигрыша первого игрока при оптимальных стратегиях:

D[ζ (х,у)]= 0 + 0 + (-4)²∙5/27 + 0 + 0 + 0 + 2²∙4/27 + (-3)²∙8/27= 168/27≈6,2 , т.е. риск равен примерно 2,5.