1. Линейная производственная задача.

Исходные данные:

59	27	20	35
1	3	2	2	102
3	2	0	3	204
4	2	3	1	188

Задание:

1. Составить математическую модель линейной производственной задачи, взяв исходные данные в соответствии со своим вариантом, где матрица удельных затрат А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ b₁

A = a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ , B = b₂ , C = ( c₁ c₂ c₃ c₄ )

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄ b₃

которые компактно записаны в виде

c₁ c₂ c₃ c₄

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ b₁

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ b₂

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄ b₃

Преобразовать исходную задачу к виду основной задачи линейного программирования.

2. Решить ее симплекс методом, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать «узкие места» производства.

Решение:

1.Из исходных данных получаем: матрица А удельных затрат ресурсов, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли имеют вид

1 3 2 2 102

А = 3 2 0 3 ; В = 204 ; С = ( 59 27 20 35 ).

4 2 3 1 188

Математическая же модель задачи: найти производственную программу

(x₁, x₂ ,x₃,,x₄), максимизирующую прибыль

Z(x₁, x₂ ,x₃,,x₄) = 59 x₁ + 27 x₂ + 20x₃ +35 x₄ → max ,

при ограничениях по ресурсам

1x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 2x₄ ≤ 102

3x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 3x₄ ≤ 204

4x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 1x₄ ≤ 188

где по смыслу задачи x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0.

Получили задачу линейного программирования. Чтобы решить ее, заменяем неравенства системы уравнениями при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных x₅, x₆ , x₇, называемых балансовыми, оптимальные значения которых имеют экономический смысл остатков ресурсов. Получается каноническая задача ЛП:

59 x₁ + 27 x₂ + 20x₃ +35 x₄ → max,

1x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 2x₄ + x₅ = 102,

3x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 3x₄ + x₆ = 204,

4x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 1x₄ + x₇ =188,

x₁,…, x₇ ≥ 0.

2.Будем решать эту задачу симплексным методом.

			59	27	20	35	0	0	0
СБ	Б	Н	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
0 0 0	X5 X6 X7	102 204 188	1 3 4	3 2 2	2 0 3	2 3 1	1 0 0	0 1 0	0 0 1
	Z	0	-59	-27	-20	-35	0	0	0
	X5 X6 X1	55 63 47	0 0 1	5/2 1/2 1/2	5/4 -9/4 3/4	7/4 9/4 1/4	1 0 0	0 1 0	-1/4 -3/4 1/4
	Z	2773	0	5/2	97/4	-81/4	0	0	59/4
	X5 X4 X1	6 28 40	0 0 1	19/9 2/9 4/9	3 -1 1	0 1 0	1 0 0	-7/9 4/9 -1/9	1/3 -1/3 1/3
	Z	3340	0	7	4	0	0	9	8

Прежде всего, из выражения максимизации прибыли видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию первого вида, т.к. прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. Поэтому в системе принимаем переменную x₁ за разрешающую и преобразовываем эту систему к другому предпочитаемому виду. Для этого составляем отношения правых частей уравнений к соответствующим коэффициентам при выбранной неизвестной и находим наименьшее

b_i 102 204 188 188

min —―̶̶̶̶̶̶ ̶ ̶̶̶ ̶ = min ―̶̶̶̶̶̶ ̶ ̶̶̶ ; ―̶̶̶̶̶̶ ̶ ̶̶̶ ; ―̶̶̶̶̶̶ ̶ ̶̶̶ = ―̶̶̶̶̶̶ ̶ ̶̶̶ .

a_i1>0 1 3 4 4

Оно соответствует третьему уравнению. Это означает, что за решающее уравнение в системе принимается третье. Коэффициент а₃₁ = 4 будет разрешающим. Применив формулы исключения, переходим к новому предпочитаемому виду системы с соответствующим базисным допустимым решением. При этом неизвестная х₁ становится базисной. Придется ее исключить из целевой функции, чтобы иметь возможность исследовать новое базисное допустимое решение на оптимальность. Получаем первую симплексную таблицу. Аналогично поступаем и далее, пока в последней строке третьей таблицы не осталось ни одного отрицательного оценочного коэффициента Δ _j , т.е. выполняется критерий оптимальности для максимизируемой функции цели.

Производная программа

х₁ = 40, х₂ = 0, х₃ = 0, х₄ = 28

является оптимальной и обеспечивает предприятию наибольшую возможную прибыль Z_max = 3340. При этом второй и третий ресурсы будут использованы полностью х₆ = 0, х₇ = 0, а первый ресурс будет иметь остаток х₅ = 6, т.е. второй и третий ресурсы образуют “узкие места производства”.