Государственный университет управления
Кафедра прикладной математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине «Прикладная математика»
Выполнил(а) ………………..
Институт
Отделение
Курс II
Группа ……………….
Руководитель ……………….
Дата сдачи на проверку ..............................
Дата защиты ..............................
Оценка ..............................
Подпись руководителя ..............................
Москва - 2002
Оглавление
Оглавление 2
Линейная производственная задача 3
Двойственная задача 7
Транспортная задача 12
Метод динамического программирования 15
Динамическая задача управления производством и запасами 18
Матричная модель сотрудничества и конкуренции 25
Задача о максимальном потоке в сети 28
Список литературы 32
Линейная производственная задача
Постановка задачи
Сформулировать линейную производственную задачу и составить ее математическую модель.
Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать “узкие места” производства.
В последней симплексной таблице указать обращенный базис Q-1, соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения
H = Q-1 * B.
Если по оптимальной производственной программе какие-то два вида продукции не должны выпускаться, то в таблице исходных данных вычеркнуть соответствующие два столбца, составить математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных и решить графически.
Исходные данные
Предприятие выпускает 4 вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известна технологическая матрица A, в которой каждый элементaijозначает необходимое количествоi-го ресурса для выпускаj-го вида продукции:
-
2
0
2
3
А =
1
5
4
2
3
4
0
1
Известен вектор B объемов ресурсов, каждый элемент которого bi означает предельное количество i-го ресурса для выпуска всего объема продукции:
-
142
В =
100
122
Также известен вектор удельной прибыли C, элементы которого cj означают прибыль от производства единицы продукции j-го вида:
-
С =
34
20
8
23
Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль при имеющихся ограниченных ресурсах.
Решение
Математическая модель задачи: найти производственную программу
(х1, х2, х3, х4),
максимизирующую прибыль
Z = 34 * х1 + 20 * х2 + 8 * х3 + 23 * х4
при ограничениях по ресурсам
-
2 * х1
+
2 * х3
+
3 * х4
<=
142
х1
+
5 * х2
+
4 * x3
+
2 * х4
<=
100
(1)
3 * х1
+
4 * х2
+
х4
<=
122
где по смыслу задачи
x1 >= 0; x2 >= 0; x3 >= 0; x4 >= 0
Введя дополнительные неотрицательные неизвестные х5, х6, х7, заменяем неравенства (1) уравнениями вида:
-
2 * х1
+
2 * х3
+
3 * х4
+
х5
=
142
х1
+
5 * х2
+
4 * x3
+
2 * х4
+
х6
=
100
3 * х1
+
4 * х2
+
х4
+
х7
=
122
Решаем полученную задачу симплексным методом (методом направленного перебора базисных допустимых решений) (см. Таблицу 1).
Таблица 1
|
|
|
|
34 |
20 |
8 |
23 |
0 |
0 |
0 |
|
C |
Базис |
Hi |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
|
0 |
х5 |
142 |
2 |
0 |
2 |
3 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
х6 |
100 |
1 |
5 |
4 |
2 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
х7 |
122 |
3 |
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
z – z0 |
0 |
-34 |
-20 |
-8 |
-23 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
х5 |
182/3 |
0 |
-8/3 |
2 |
7/3 |
1 |
0 |
-2/3 |
|
0 |
х6 |
178/3 |
0 |
11/3 |
4 |
5/3 |
0 |
1 |
-1/3 |
|
34 |
х1 |
122/3 |
1 |
4/3 |
0 |
1/3 |
0 |
0 |
1/3 |
|
|
z – z0 |
4148/3 |
0 |
76/3 |
-8 |
-35/3 |
0 |
0 |
34/3 |
|
23 |
х4 |
26 |
0 |
-8/7 |
6/7 |
1 |
3/7 |
0 |
-2/7 |
|
0 |
х6 |
16 |
0 |
39 |
18/7 |
0 |
-5/7 |
1 |
1/7 |
|
34 |
х1 |
32 |
1 |
12 |
-2/7 |
0 |
-1/7 |
0 |
3/7 |
|
|
z – z0 |
1686 |
0 |
12 |
18 |
0 |
5 |
0 |
8 |
Как видно из последней симплексной таблицы, оптимальная производственная программа имеет вид
х1 = 32, х2 = 0, х3 = 0, х4 = 26,
а максимальная прибыль равна
Zmax = 1686
При этом 1-й и 3-й ресурсы будут исчерпаны полностью (х5=0, х7=0), а 2-й ресурс будет иметь остаток х6 = 8 единиц.
Обращенный базис, отвечающий оптимальной производственной программе, содержится в последней симплексной таблице:
-
3/7
0
-2/7
Q –1 =
-5/7
1
1/7
-1/7
0
3/7
Для того, чтобы убедиться в правильности полученного решения, следует проверить отношение Н = Q-1 * В:
-
3/7
0
-2/7
142
426/7 – 244/7
26
Q-1 * В =
-5/7
1
1/7
*
100
=
-710/7 + 100 + 122/7
=
16
-1/7
0
3/7
122
-142/7 + 366/7
32
Следовательно, полученное решение верно.
Так как х2 = 0, х3= 0, можно составить математическую модель задачи с двумя переменными (х1 и х4):
-
Z =
34 * х1
+
23 * х4
->
max
2 * х1
+
3 * х4
<=
142
х1
2 * x4
<=
100
3 * х1
+
х4
<=
122
Графическое решение такой модели изображено на Рисунке 1.
Рисунок 1
Решая систему двух линейных уравнений, получаем оптимальный результат:
-
2 * х1
+
3 * х4
=
142
3 * х1
+
х4
=
122
-
х1
=
32
х3
=
26
Zmax
=
1686
Полученный графическим методом результат совпадает с тем, который был получен ранее при использовании симплекс-метода.