2.2. Анализ доходности и рискованности финансовых операций

Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная величина . Средний ожидаемый доход– это математическое ожидание с.в.:, гдеесть вероятность получить доход. А среднее квадратическое отклонение (СКО)– это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считатьколичественной мерой риска операции и обозначать. Таким образом, здесь предлагается новый количественный измеритель риска операции. В финансовой математике этот измеритель считается основным. Напомним, что дисперсия с.в..

Рассмотрим четыре операции . Найдем средние ожидаемые доходыи рискиопераций.

Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:

	-6	-2	0	6
	1/6	1/4	1/3	1/4

	0	2	4	16
	1/3	1/3	1/6	1/6

	-6	-5	-4	3
	1/6	1/3	1/6	1/3

	0	8	12	20
	1/5	1/5	1/5	2/5

Напомним, как находить и.

Нанесем средние ожидаемые доходы и рискина плоскость – доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см. рис.):

Получили 4 точки. Чем выше точка, тем более доходная операция, чем точка правее – тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точкадоминирует точку, еслиии хотя бы одно из этих неравенств строгое. 2-ю и 4-ю операции сравнивать нельзя, т.к. доходность 4-ой больше, но и риск тоже больше. 1-я и 3-я операция не могут быть оптимальными по Парето, т.к. их эффективность равна 0 и –2,33 соответственно при ненулевом риске. Таким образом, в нашем случае, множество Парето, т.е. оптимальных по Парето операций, состоит из 2-й и 4-ой операций.

Для большей достоверности можно применить подходящую взвешивающую формулу. Например, пусть взвешивающая формула есть прежняя . Тогда получаем:,Видно, что 4-я операция – лучшая, а 3-я – худшая.

Риск линейных комбинаций двух некоррелированных операций. Пусть Q₁иQ₂две финансовые операции с эффективностямиe₁,e₂и рискамиr₁,r₂соответственно. Пустьt– какое-нибудь число между 0 и 1. Тогда операцияQ_t=(1-t)Q₁+tQ₂называется линейной комбинацией операцийQ₁,Q₂. При движении от 0 к 1 эфективностьQ_tизменяется отQ₁доQ₂. Эффективность операцииQ_tравна(1-t)e₁+te₂, с риском же дело обстоит сложнее. Рассмотрим только случай некоррелированных операцийQ₁,Q₂, тогда дисперсия операцииQ_tравна(1-t)²∙D₁+t²∙D₂, гдеD₁,D₂– дисперсии операций, значит риск операцииQ_tесть.

Пусть Q₁иQ₂две финансовые операции с эффективностями 5 и 60 и рисками 8 и 80 соответственно. Составим операциюQ_t, являющуюся их линейной комбинацией и более хорошей, чем какая-либо из имеющихся:

1. Эффективность операции Q_tравнаe_t=(1-t)∙5+t∙60=5+55t; (1)

2. Риск операции Q_tесть.

Вычислим, при каком операцияQ_t более хорошая, чем какая-либо из имеющихся. Как видно из(1) при любомэффективность операцииQ_tбольше 5, следовательно, найдем, при котором риск операцииQ_tменьше либо равен 8. Для этого решим неравенство:,. Получим:. Примером операции Q_t может служить:Q_t=0,99Q₁+0,01Q₂ при t=0,01_. Эффективность такой операции будет равнаe_t=5,55,риск при этом составитr_t≈7,96.