1.5. Оптимальное распределение инвестиций

Эта задача решается с помощью динамического программирования.

Динамическое программирование – это вычислительный метод для ре­шения задач управления определенной структуры. Данная задача с nпере­менными представляется как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной пере­менной.

Знакомство с методом динамического программирования проще всего начать с рассмотрения нелинейной задачи распределения ресурсов между предприятиями одного производственного объединения или отрасли. Для определенности можно считать, что речь идет о распределении капиталь­ных вложений (инвестиций).

Предположим, что указано пунктов, где требуется построить или ре­конструировать предприятия одной отрасли, для чего выделенорублей. Обозначим черезприрост мощности или прибыли на -м предприятии, если оно получитрублей капитальных вложений. Требуется найти такое распределениекапитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли при ограничении по общей сумме капитальных вложенийпричем будем считать, что все переменныепринимают только целые не­отрицательные значенияилиилиили

Функции мы считаем заданными, заметив, что их определение – довольно трудоемкая экономическая задача. Воспользуемся методом динамического программирования для реше­ния этой задачи.

Введем параметр состояния и определим функцию состояния. За пара­метр состояния примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состоянияопределим как максимальную прибыль на первыхпредприятиях, если они вместе получаютрублей. Параметрможет изменяться отдо. Если изрублей-е предприятие получитрублей, то каково бы ни было это значение, остальныерублей естественно распределить между предприятиями от первого до-го так, чтобы была получена максимальная прибыль. Тогда прибыльпредприятий будет равна. Надо выбрать такое значениемеждуи, чтобы эта сумма была максимальной, и мы при­ходим к рекуррентному соотношению

для . Если же, то

Пусть 4 фирмы образуют объединение. Рассмотрим задачу распределения инвестиций в размере 700 тыс. рублей по этим 4 фирмам. Размер инвестиций пусть будет кратен 100 тыс. рублей. Эффект от направления i-й фирме инвестиций в размере m (сотен тыс. рублей) выражается функцией f_i(m). Приходим к задаче

f₁(x₁)+f₂(x₂)+f₃(x₃)+f₄(x₄)max,

где xi - пока еще неизвестный размер

x₁+x₂+x₃+x₄<=7;

x₁,x₂,x₃,x₄=>0инвестиций i-й фирме. Эта задача решается методом динамического программирования: последовательно ищется оптимальное распределение для k=2, 3 и 4 фирм. Пусть первым двум фирмам выделено m инвестиций, обозначим z₂(m) величину инвестиций 2-й фирме, при которой сумма f₂(z₂(j))+f₁(m-z₂(j)), 0<=j<=m максимальна, саму эту максимальную величину обозначим F₂(m). Далее действуем также: находим функции z3 и F3 и т.д. На k-ом шаге для нахождения Fk(m)) используем основное рекуррентное соотношение: F_k(m)=max{f_k(j)+F{k-1}(m-j): 0<=j<=7}.

х	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(x)	0	25	41	55	65	75	80	85
f2(x)	0	30	52	76	90	104	116	125
f3(x)	0	50	68	82	92	100	107	112
f4(x)	0	61	80	93	100	106	112	116

Таблица №1

t		0	100	200	300	400	500	600	700
x2	f2\ F1	0	25	41	55	65	75	80	85
0	0	0	25	41	55	65	75	80	85
100	30	30	55	71	85	95	105	110
200	52	52	77	93	107	117	127
300	76	76	101	117	131	141
400	90	90	115	131	145
500	104	104	129	145
600	116	116	141
700	125	125

Серым обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 2 предприятиям.

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F2	0	30	55	77	101	117	131	145
z2	0	100	100	200	300	300	300	400

Таблица N2

	t	0	100	200	300	400	500	600	700
x3	f3\F2	0	30	55	77	101	117	131	145
0	0	0	30	55	77	101	117	131	145
100	50	50	80	105	127	151	167	181
200	68	68	98	123	145	169	185
300	82	82	112	137	159	183
400	92	92	122	147	169
500	100	100	130	155
600	107	107	137
700	112	112

Серым обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 3 предприятиям.

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F3	0	50	80	105	127	151	169	185
z3	0	100	100	100	100	100	200	200

Таблица N3

	t	0	100	200	300	400	500	600	700
x4	f4\F3	0	50	80	105	127	151	169	185
0	0	0	50	80	105	127	151	169	185
100	61	61	111	141	166	188	212	230
200	80	80	130	160	185	207	231
300	93	93	143	173	198	220
400	100	100	150	180	205
500	106	106	156	186
600	112	112	162
700	116	116

Серым обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 4 предприятиям.

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F4	0	61	111	141	166	188	212	231
z4	0	100	100	100	100	100	100	200

Сведем результаты в одну таблицу.

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F1=f1	0	25	41	55	65	75	80	85
z1=x1	0	100	200	300	400	500	600	700
F2	0	30	55	77	101	117	131	145
z2	0	100	100	200	300	300	300	400
F3	0	50	80	105	127	151	169	185
z3	0	100	100	100	100	100	200	200
F4	0	61	111	141	166	188	212	231
z4	0	100	100	100	100	100	100	200

F₄(700)=231 показывает максимальный суммарный эффект по всем 4-м фирмам, аz₄(700)=200 - размер инвестиций в 4-ю фирму для достижения этого максимального эффекта. После этого на долю первых 3-х фирм осталось 500 и для достижения максимального суммарного эффекта по первым 3-м фирмам в 3-ю надо вложить 100, во 2-ю – 300, в 1-ю – 100. Курсивом отмечены оптимальные значения инвестиций по фирмам и значения эффектов от них.