1.3. Задача о расшивке узких мест
При выполнении
оптимальной производственной программы
первый и второй ресурсы используются
полностью, т.е. образуют “узкие места
производства”. Будем их заказывать
дополнительно. Пусть
- вектор дополнительных объемов ресурсов.
Так как мы будем использовать найденные
двойственные оценки ресурсов, то должно
выполняться условие
Задача состоит в том, чтобы найти вектор
,
максимизирующий суммарный рост прибыли
(1)
при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы), предполагая, что можно получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурсов каждого вида.
Последняя симплексная таблица
|
27 |
х1 |
48 |
1 |
5/3 |
0 |
2 |
1/3 |
0 |
0 |
|
9 |
х3 |
34 |
0 |
-10/3 |
1 |
-4 |
-2/3 |
1 |
0 |
|
0 |
х7 |
24 |
0 |
9 |
0 |
9 |
1 |
-2 |
1 |
|
|
Р |
1602 |
0 |
5 |
0 |
10 |
3 |
9 |
0 |
(2)
Переписав неравенство (2) в виде:
(4)
;
(5)
,
(6)
приходим к задаче ЛП: максимизировать (1) при условиях (4), (5) и (6).
Эту задачу легко решить графически:
Т.о. программа “расшивки” имеет вид: t1=48; t2=36; прирост прибыли -468.
1.4. Задача о комплектном плане
Задачу ЛП с двумя переменными можно решить графически. Возьмем на плоскости систему координат: ось OX1 направим горизонтально и вправо, ось OX2 - вертикально и вверх. Каждое ограничение задачи, раз оно линейное нестрогое неравенство, графически изображается полуплоскостью, граничная прямая которой соответствует уже не неравенству, а равенству. Допустимое множество задачи является пересечением всех этих полуплоскостей и есть выпуклый многоугольник.
Вторая из двух основных теорем ЛП гласит: если экстремум целевой функции достигается на допустимом множестве, то функция принимает его в какой-то вершине многоугольника – допустимого множества. Исходя из этой теоремы, найти искомый экстремум можно просто перебрав вершины многоугольника и определив ту, в которой значение функции экстремально. Чаще делают по-другому: строят линию уровня целевой функции и двигают ее параллельно в направлении экстремума, стараясь уловить последнюю точку пересечения линии с допустимым множеством.
Предположим, что в линейной производственной задаче продукция производится комплектно: продукции 3-го вида надо произвести в 2 раза больше, чем 1-го, а 4-го - в 5 раз больше, чем 2-го. Т.е. имеем соотношения x3=2x1иx4=5x2.
-
45
50
3
35
144
4
0
130
5
19
140
P=45x1+50x2max
3x1+35x2<=144 (1)
4x1+ 0 x2<=130 (2)
5x1+19x2<=140(3)
Искомая точка находится как решение системы:
