1.2. Двойственная задача линейного программирования

Задача линейного оптимального планирования - исходная в своей паре симметричных двойственных задач. Вообще же другая задача в двойственной паре строится так:

1)меняется тип экстремума целевой функции ( max на min и наоборот);

2)коэффициенты целевой функции одной задачи становятся свободными членами другой задачи;

3)свободные члены одной задачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи;

4)тип неравенств меняется ( <= на => и наоборот);

5) каждый столбец одной задачи порождает строку ограничений другой задачи и наоборот.

В матрично-векторном виде обе задачи выглядят так:

исходная задача двойственная задача

CXmax YBmin

AX<=B, X>=0 YA=>C, Y=>0

P= 27x₁+10x₂+9x₃+8x₄ -->max S= 144y₁+130y₂+140y₃-->min

3x₁+ 5x₂+0x₃+6x₄<=144 у₁ 3y₁+ 2y₂+ 1y₃=>27

2x₁+ 0x₂+1x₃+0x₄<=130 у₂ 5y₁+ 0y₂+ 4y₃=>10

1x₁+ 4x₂+2x₃+3x₄<=140 у₃ 0y₁+ 1y₂+ 2y₃=>9

х₁,x₂,x₃,x₄>=0 6y₁+ 0y₂+ 3y₃=>8

y₁,y₂,y₃>=0

Последняя симплексная таблица

С	Б	Н	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
27	х1	48	1	5/1	0	2	1/3	0	0
9	х3	34	0	-10/3	1	-4	-2/3	1	0
0	х7	24	0	9	0	9	1	-2	1
	Р	1602	0	5	0	10	3	9	0

Исходная задача: х₁=48,х₂=0,х₃=34,х₄=0,х₅=0,х₆=0,х₇=24

Оптимальные значения двойственных переменных равны оценочным коэффициентам балансовых переменных исходной задачи, а экстремумы целевых функций равны.

Двойственная задача: y₁=3; y₂=9; y₃=0; экстремумы целевых функций исходной и двойственной задач равны1602.

2 Способ решения.

P= 27x₁+10x₂+9x₃+8x₄ -->max S= 144y₁+130y₂+140y₃-->min

3x₁+ 5x₂+0x₃+6x₄<=144 у₁ 3y₁+ 2y₂+ 1y₃=>27

2x₁+ 0x₂+1x₃+0x₄<=130 у₂ 5y₁+ 0y₂+ 4y₃=>10

1x₁+ 4x₂+2x₃+3x₄<=140 у₃ 0y₁+ 1y₂+ 2y₃=>9

х₁,x₂,x₃,x₄>=0 6y₁+ 0y₂+ 3y₃=>8

y₁,y₂,y₃>=0

2-я теорема двойственности: если i-е ограничение одной из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть строгое неравенство, то оптимальное значение i-й переменной другой задачи равно 0, или, если оптимальное значение j-й переменной одной задачи строго положительно, то j-е ограничение другой из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть равенство.

х₁>0, следовательно,3y₁+ 2y₂+ 1y₃=27;

х₃>0, следовательно,0y₁+ 1y₂+ 2y₃=9.

у₃=0, т.к.х₇>0;

Решаем систему:

3y₁+ 2y₂=27 при y₂=9

у₁=(27-29)/3=3

1443+1309+0140=432+1170=1602

Исходная задача: х₁=48,х₂=0,х₃=34,х₄=0,х₅=0,х₆=0,х₇=24;

Двойственная задача: y₁=3; y₂=9; y₃=0

экстремумы целевых функций исходной и двойственной задач равны 1602

Т.о. получили двойственные оценки ресурсов: y₁=3; y₂=9; y₃=0, причем общая оценка всех ресурсов равна1602. Двойственная оценка 1 ресурса у₁ показывает, что добавление 1 ед. 1 ресурса обеспечит прирост прибыли в 3 ед., а 2 ресурса у₂– на 9 ед., а оценка второй технологии₃=5 показывает, что если произвести одну единицу продукции 2-го вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 5 единиц.