4. Социально-экономическая структура общества

4.1. Модель распределения богатства в обществе

Такой моделью является так называемая “диаграмма или кривая Лоренца” распределения богатства в обществе.

Рассмотрим функцию , которая сообщает, что-я часть самых бедных людей общества владеет-й частью всего общественного богатства (см. рис.). Если бы распределение богатства было бы равномерным, то график функциишел бы по диагонали квадрата.

Поэтому, чем меньше площадьзаштрихованной линзы, тем равномернее распределено богатство в обществе. Величина этой площади называется также коэффициентом Джинни. Сама функцияназывается функцией распределения богатства в обществе.

Исходя из содержательного смысла функции можно доказать, что эта функция и первые ее две производные положительны на [0,1].

Пример. Пусть .

Тогда ,т. е. пятая часть самых бедных владеет только 3,64 % всего богатства и т. д.

L= 1/7(3х²+12х) иL=1/7(6х+12) положительны на [0,1]

Вычислим коэффициент Джинни. Имеем , значит,.

Назовем распределение богатства в обществе опасно несправедливым, если . Следовательно, функцияне свидетельствует об опасном распределении богатства.

Зная функцию найдем другую функцию«такую часть всего богатства общества имеет-я часть самых богатых людей». Имеем..В частности, для функции из примера получаем. Так что, в этом случае, десятая часть самых богатых владеет 20,2 % всего богатства или примерно пятой частью.

w=1/7(3t²-18t+15) положительна ,w=1/7(6t-18) отрицательна

По функции определим еще одну функцию:. Эта функция определена на отрезке [0,1/2].

Как найти часть богатства, которой владеет срединная часть общества – богаче, чем 1/4 самых бедных, но беднее, чем 1/4 самых богатых?

Эта часть равна

Скажем, что в обществе есть средний класс, если эта часть не менее 1/2. Есть ли средний класс при функции распределения богатства? Для ответа вычисляем. Окончательный ответ: нет.

Отметим, что функции ,,не дают представления об абсолютном богатстве общества, а лишь о распределении богатства внутри него.

4.2. Распределение общества по получаемому доходу.

Пусть есть доля получающих месячный доход меньшепо отношению ко всем, имеющим какой-нибудь денежный доход (всех таких членов общества назовем налогоплательщиками). Функциювполне правильно трактовать, как функцию распределения случайной величины (с. в.)-месячный доход случайного налогоплательщика. С. в.можно считать непрерывной. Функцияможет быть интересна для налоговой инспекции.

Пример. Конкретно, пусть ,.

Определим размер месячного дохода, который для случайно выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью 0,5. Найдем также средний месячный доход.

Удобно решить эту задачу в общем виде – для функции ,,и произвольной вероятности. График функции см. на рис.

Итак найдем размер месячного дохода B, который для случайно выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью p. Так какесть вероятность, то. Следовательно,. Для рассматриваемого примера получаем

Теперь найдем средний месячный доход. Сначала найдем плотность распределения с. в.. Она есть производная функции. Таким образом,.

Средний месячный доход есть математическое ожидание с. в. I, т. е..Для рассматриваемого примера получаем.

Другой характеристикой распределения дохода является коэффициент Рейнбоу, который находится как отношение решений уравнений F(z)=0.9 и F(z)=0.1, т.е. этот коэффициент показывает отношение доходов 10% членов общества с самыми высокими доходами к доходам 10% с самыми низкими доходами. Если это отношение превышает 20, то распределение доходов называется несправедливым, иначе нормальным.

В нашем случае: F(z)=0.9 при z=1151 и F(z)=0.1 приz=53. Коэффициент Рейнбоу равен 21,7, следовательно, распределение дохода можно считать несправедливым.

Отметим, что в отличие от функций ,,из пункта 4.1, которые не дают представления об абсолютном богатстве общества, а лишь о распределении богатства внутри него, функция, как раз наоборот, дает довольно хорошее представление об уровне жизни.