6. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества
Теория игр: совокупность математических методов, анализа и оценки поведения в конфликтных ситуациях, когда сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующие различные, иногда противоположные цели. Противоречащие друг другу интересы наблюдаются в области экономики, военном деле, спорте, иногда противоречат интересы различных ступеней иерархии в СУ. Теория игр представляет собой математическую теорию конфликтных ситуаций. Ее цель-выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта. Рассмотрим матричную игру двух лиц с нулевой суммой. Задана матрица:
1 2 -4 3
-4 4 2 -3
Участвуют 2 игрока. 1-ый выбирает номер строки, а 2-ой независимо от 1-го выбирает номер столбца. Если 1-ый загадал 2-ую строку, а второй – 3-ий столбец, то выигрыш первого составляет 2 рубля.
Для второго игрока 2-ой столбец является доминируемым по сравнению с 1-ым, т.к. в первом случае он проигрывает 1 рубль а во втором – 5 рублей, но при этом выигрывает 4 рубля в первом случае и проигрывает 4 во втором.Вычеркиваем его
1
2 -4 3
-4 4 2 -3
Построим график, образованный пересечением следующих линий:
Как видно из графика, мы выбираем верхнюю точку, находящуюся ближе к горизонтальной оси, образованнюю пересечением 2-х прямых (3 и 4).
Получим
матрицу
Найдем оптимальные стратегии игроков.
Пусть
стратегия Первого есть
(p1,p2),
а Второго –
(0,0,q3,q4).
Обозначим: p1=x, p2=1-x
q3=y, q4=1-y
Выразим математическое ожидание выигрыша первого игрока(цена игры)
M(P,Q)= - 4xy + 3x(1-y) + 2y(1-x) – 3(1-x)(1-y) = 6x + 5y – 12xy – 3 = - 12y (x - 5/12) + 6(x – 5/12) – 3 + 30/12 = -12 (x - 5/12)(y – 1/2) – 1/3
Допустим 1-ый игрок решил придерживаться P(x = 5/12, 1-x = 7/12), тогда, как не менять y, выигрыш первого всегда (-1/3).
Значит оптимальная стратегия первого P( 5/12, 7/12 ), аналогично для второго Q( 0, 0, 1/2, ½ ).
При этом при достаточно большом числе игр проигрыш первого будет составлять в среднем 1/3 руб. за партию.
8. Задача о кратчайшем пути
Необходимо найти кратчайший путь между пунктами 0 и 8.
12
7 11
6 10 9
7 9
3
11 5 3
12 13
X0 = 0
X1 = + = 3
3
X2 = + = 6
6
X3 = + = 12
12
X4 = + = 13
6 + 7
3 + 11
X5 = + = 15
3 + 12
X6 = + = 16
7 + 12
6 + 10
X7 = + = 18
13 + 5
X8 = + = 21
12 + 11
16 + 9
13 + 9
13 + 5 + 3
15 + 13
Таким образом, кратчайшее расстояние между двумя пунктами 0 и 8 = 6 + 7 + 5 + 3 = 21
9. Задача о назначениях
Исходные данные предложены самостоятельно. Необходимо решить задачу о назначениях.
Проект “изготовление мебели”
Начало
проекта (1)
Конец
проекта (5)
X1 = 0
X2 = +
3 часа
X3
= +
2 часа
3 часа
X4 = +
4 + 3 часа
X5 = +
7 + 5 часов
На изготовление одной единицы мебели необходимо потратить 7 + 5 = 12 часов.
14. Матричная модель производственной программы предприятия
Предприятие состоит из n цехов. Каждый цех выпускает только один вид продукции. Пусть j-й цех выпускает xj единиц продукции, из которых yj единиц отправляет за пределы предприятия как товарную продукцию, а остающаяся часть используется другими цехами предприятия.
Пусть ajk – кол-во продукции j-го цеха, расходуемое на производство единицы продукции k-го цеха. Числа aij образуют матрицу А коэффициентов прямых затрат, называемую структурной. Производственная программа предприятия представляется вектором X(x1, … , xn), а выпуск товарной продукции – вектором У(у1, … , уn). (Е - А)Х = У или Х = (Е - А)-1У.
Элементы любого столбца матрицы (Е - А)-1, называемой матрицей коэффициентов полных затрат, показывают затраты всех цехов, необходимые для обеспечения выпуска единицы товарного продукта того цеха, номер которого совпадает с номером данного столбца.
При заданном векторе У выпуска товарной продукции легко определить производственную программу Х и наоборот.
Д
33
-
0,2
0,2
0
50
0
0
0,3
60
0,1
0,3
0
70
0
6
8
4
3
2
30
20
30
0,3
0,2
0,1
B*Q
=
H*Y
=
(Полные
затраты всех ресурсов)
Вектор
производственной программы X
=
Необходимые
на весь объем товарной продукции значения
(вектор У) =