1.4.Задача о комплектном плане.

Задачу ЛП с двумя переменными можно решить графически. Возьмем на плоскости систему координат: ось OX1 направим горизонтально и вправо, ось OX2 - вертикально и вверх. Каждое ограничение задачи, раз оно линейное нестрогое неравенство, графически изображается полуплоскостью, граничная прямая которой соответствует уже не неравенству, а равенству. Допустимое множество задачи является пересечением всех этих полуплоскостей и есть выпуклый многоугольник.

Вторая из двух основных теорем ЛП гласит: Если экстремум целевой функции достигается на допустимом множестве, то функция принимает его в какой-то вершине многоугольника – допустимого множества. Исходя из этой теоремы, найти искомый экстремум, можно просто перебрав вершины многоугольника, и определив ту, в которой значение функции экстремально. Чаще делают по-другому: строят линию уровня целевой функции и двигают ее параллельно в направлении экстремума, стараясь уловить последнюю точку пересечения линии с допустимым множеством. Зададим задачу ЛП с тремя ограничениями и четырьмя переменными, затем зададим выражения x3 и x4 через x1 и x2 . Теперь переменных осталось две и задача может быть решена графически.

Условие задачи:

45 33 30 42

-------------------------

4 9 8 1 ¦ 220

5 2 3 0 ¦ 200

0 3 1 6 ¦ 216

Принимая: x3/x1=1; x4/x2=3 – получаем:

75 159

-------------

12 12 ¦ 220 12x1+12x2<=220

8 2 ¦ 200 8x1 + 2x2<=200

1 21 ¦ 216 x1+21x2<=216

x2

¹⁰⁰

²

^18.3 ₁

^10.3 ₃ x1

0 ^{18.3 25 216}

Найдем x1 и x2: 12x1+12x2=220 x1=8.42

x1+21x2=216 x2=9.88

Оптимальное решение:

x1=8.42; x2=9.88; max=2202.42.

1.5.Оптимальное распределение инвестиций.

Динамическое программирование – это вычислительный метод для ре­шения задач управления определенной структуры. Данная задача с n пере­менными представляется как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной пере­менной.

Предположим, что указано пунктов, где требуется построить или ре­конструировать предприятия одной отрасли, для чего выделенорублей. Обозначим черезприрост мощности или прибыли на i-ом предприятии, если оно получит рублей капитальных вложений. Требуется найти такое распределениекапитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли при ограничении по общей сумме капитальных вложений причем будем считать, что все переменныепринимают только целые не­отрицательные значения:

или илиили

Пусть 4 фирмы образуют объединение. Рассмотрим задачу распределения инвестиций в размере 700 тыс. рублей по этим 4 фирмам. Размер инвестиций пусть будет кратен 100 тыс. рублей. Эффект от направления i-й фирме инвестиций в размере m (сотен тыс. рублей) выражается функцией fi(m). Приходим к задаче f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)+f4(x4)-->max

x1+x2+x3+x4<=7; x1,x2,x3,x4=>0, где xi - пока еще неизвестный размер инвестиций i-й фирме. Эта задача решается методом динамического программирования: последовательно ищется оптимальное распределение для k=2,3 и 4 фирм. Пусть первым двум фирмам выделено m инвестиций, обозначим z2(m) величину инвестиций 2-й фирме, при которой сумма f2(z2(j))+f1(m-z2(j)), 0<=j<=m максимальна, саму эту максимальную величину обозначим F2(m). Далее действуем также: находим функции z3 и F3 и т.д. На k-ом шаге для нахождения Fk(m)) используем основное рекуррентное соотношение:

Fk(m)=max{fk(j)+F{k-1}(m-j): 0<=j<=7}.

X	0	100	200	300	400	500	600	700
F1(x)	0	20	27	0	31	32	32	33
F2(x)	0	8	26	37	47	53	58	61
F3(x)	0	5	20	29	36	41	45	47
F4(x)	0	20	33	42	48	53	56	58

Таблица N 1

	t	0	100	200	300	400	500	600	700
X2	f1\F1	0	20	27	0	31	32	32	33
0	0	0	20	27	0	31	32	32	33
100	8	8	28	35	8	39	40	40
200	26	26	46	53	26	57	58
300	37	37	57	64	37	68
400	47	47	67	74	47
500	53	53	73	80
600	58	58	78
700	61	61

Цветом помечены точки с максимальным суммарным эффектом от выделения соответствующего размера инвестиций 2 предприятиям.

T	0	100	200	300	400	500	600	700
F2	0	20	28	46	57	67	74	80
z2	0	0	1	2	3	4	4	5

Таблица N 2

	T	0	100	200	300	400	500	600	700
X3	f2\F2	0	20	28	46	57	67	74	80
0	0	0	20	28	46	57	67	74	80
100	5	5	25	33	51	62	72	79
200	20	20	40	48	66	77	87
300	29	29	49	57	75	86
400	36	36	56	64	82
500	41	41	61	69
600	45	45	65
700	47	47

Цветом помечены точки с максимальным суммарным эффектом от выделения соответствующего размера инвестиций 3 предприятиям.

T	0	100	200	300	400	500	600	700
F3	0	20	28	46	57	67	77	87
z3	0	0	0	0	0	0	2	2

Таблица N 3

	T	0	100	200	300	400	500	600	700
X4	f3\F3	0	20	28	46	57	67	77	87
0	0	0	20	28	46	57	67	77	87
100	20	20	40	48	66	77	87	97
200	33	33	53	61	79	90	100
300	42	42	62	70	88	99
400	48	48	68	76	94
500	53	53	73	81
600	56	56	76
700	58	58

Цветом помечены точки с максимальным суммарным эффектом от выделения соответствующего размера инвестиций 4 предприятиям.

T	0	100	200	300	400	500	600	700
F4	0	20	40	53	66	79	90	100
z4	0	0	1	2	1	2	2	2

Сведем результаты в 4 таблицы. Теперь F4(700)=100показывает максимальный суммарный эффект по всем 4-м фирмам, а z4(700)=200- размер инвестиций в 4-ю фирму для достижения этого максимального эффекта. После этого на долю первых 3-х фирм осталось (700-200) и для достижения максимального суммарного эффекта по первым 3-м фирмам в 3-ю надо вложить000и т.д. Цветом отмечены оптимальные значения инвестиций по фирмам и значения эффектов от них.

T	0	100	200	300	400	500	600	700
F1=f1	0	20	27	0	31	32	32	33
Z1=x1	0	1	2	3	4	5	6	7
F2	0	20	28	46	57	67	74	80
Z2	0	0	1	2	3	4	4	5
F3	0	20	28	46	57	67	77	87
Z3	0	0	0	0	0	0	2	2
F4	0	20	40	53	66	79	90	100
Z4	0	0	1	2	1	2	2	2

Ответ: Наилучшее распределение капитальных вложений по предприятиям: x1=100; x2=400; x3=0; x4=200