1.2.Двойственная задача линейного программирования.

Перейдем к рассмотрению двойственной задачи. Мы хотим найти оценку единицы каждого вида ресурса. Это – задача линейного программи­рования: найти вектор двойственных оценок

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

f (y1,y2,y3) = 220*y1+200*y2+216*y3  min

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ре­сурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции

4*y1+5*y2+0*y3=>45

9*y1+2*y2+3*y3=>33

8*y1+3*y2+1*y3=>30

1*y1+0*y2+6*y3=>42

причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными

В матрично-векторном виде обе задачи (линейная и двойственная) выглядят так:

исходная задача двойственная задача

CX-->max YB-->min

AX<=B, X>=0 YA=>C, Y=>0

Запись двойственной задачи:

S= 220*y1+200*y2+216*y3  min

4*y1+5*y2+0*y3=>45

9*y1+2*y2+3*y3=>33

8*y1+3*y2+1*y3=>30

1*y1+0*y2+6*y3=>42

y1,y2,y3>=0

Таблица N 3.

C	Б	H	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
0	Х5	24.00	0.00	6.90	5.44	0.00	1.00	-0.80	-0.17
45	Х1	40.00	1.00	0.40	0.60	0.00	0.00	0.20	0.00
42	Х4	36.00	0.00	0.50	0.17	1.00	0.00	0.00	0.17
	Р	3312.00	0.00	6.00	4.00	0.00	0.00	9.00	7.00

Решение одной из пары двойственных задач можно найти, зная только ответ к другой задаче и пользуясь 2-й теоремой двойственности: если i-е ограничение одной из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть строгое неравенство, то оптимальное значение i-й переменной другой задачи равно 0, или, что то же самое - если оптимальное значение j-й переменной одной задачи строго положительно, то j-е ограничение другой из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть равенство.

Для решения необходимо и достаточно выполнение условий:

y1(4x1+9x2+8x3+1x4-220)=0, x1(4y1+5y2+0y3-45)=0,

y2(5x1+2x2+3x3+0x4-200)=0, x2(9y1+2y2+3y3-33)=0,

y3(0x1+3x2+1x3+6x4-216)=0, x3(8y1+3y2+1y3-30)=0,

x4(1y1+0y2+6y3-42)=0. .

Подставим компоненты оптимального решения исходной задачи (x1=40; x2=0; x3=0; x4=36) во все уравнения этой системы. В первом уравнении выражение в скобках отлично от нуля, в силу чего y1=0. Тогда 4-е и 7-е уравнения, с учетом положительности x1 и x4, примут вид:

5y2=45

6y3=42 , откуда y2=9, y3=7.

Ответ: Исходная задача: x1=40; x2=0; x3=0; x4=36; x5=24; x6=0; x7=0;

Двойственная задача: y1=0.00; y2=9.00; y3=7.00 (см. таблицу);

экстремумы целевых функций исходной и двойственной задач равны 3312.00

1.3.Расшивка «узких мест» производства.

Таблица N 3.

C	Б	H	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
0	Х5	24.00	0.00	6.90	5.44	0.00	1.00	-0.80	-0.17
45	Х1	40.00	1.00	0.40	0.60	0.00	0.00	0.20	0.00
42	Х4	36.00	0.00	0.50	0.17	1.00	0.00	0.00	0.17
	Р	3312.00	0.00	6.00	4.00	0.00	0.00	9.00	7.00

При выполнении оптимальной производственной программы второй и третий ресурсы используются полностью, тем самым они образуют "узкие места" производства. Будем их заказывать дополнительно. Пусть T=(0,t2,t3) – вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие H+Q^(-1)>=0 или H>=-Q^(-1)T, где H -значения базисных переменных в последней симплексной таблице, а Q^(-1) - обращенный базис, который образуют столбцы при балансовых переменных в этой таблице. Задача состоит в том, чтобы найти вектор T , максимизирующий суммарный прирост прибыли W= 9t2+ 7t3 при условии, сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно ассортимента выпускаемой продукции), предполагая, что можно получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурсов каждого вида.

Графическое решение задачи о расшивке узких мест производства.

W=9t2+7t3max. ограничивающие прямые:

|24|>=-| 1.00 0.80 -0.17| | 0| 0.80t2+0.17t3<=24

|40|>=-| 0.00 0.20 0.00| |t2| t2>=-200

|36|>=-| 0.00 0.00 0.17| |t3| t3>=-211.8

t2<=200/3; t3<=216/3

t2,t3>=0

t3

141.2

216/3

-200 200/3

t2

0 30

-211.8

t3=72.00; 0.8t2+0.17*72=24 →t2=14.7

maxW=9t2+7t3=636.3

Ответ: t2=14.70; t3=72.00; maxW=636.3.