Кратчайший путь на графе.

Пусть дан граф G=(X,U). Каждой дуге графа поставим в соответствие положительное число l(u). Это число можно назвать длиной дуги. Тогда за длину пути μ принимается сумма длин дуг, входящих в μ:

L(μ)= Σ l(u)

u μ

Выделяются две вершины графа – a и b. Требуется на графе G найти путь кратчайшей длины из вершины a в вершину b.

Алгоритм решения задачи:

1. Перенумеровать вершины графа G так, чтобы вершина a получила обозначение x0, а вершина b – xn (последняя по обозначению вершина).

2. Присвоить каждой вершине xi начальную метку λi: λ0=0, λi =+∞ (i>0).

3. Найти дугу u=uij=(xi,xj), для которой выполняется неравенство λi – λj >l(uij) (полагая, что ∞ – ∞=0). Для вершины xj заменить метку на новую, меньшую, метку λj = λj+l(uij).

4. Процедуру, описанную в п.3 , осуществлять до тех пор, пока для каждой дуги uij не станет справедливым неравенство λj – λi ≤l(uij)

5. Найти вершину xk F^-1 *xn, для которой λn = λk+l(ukn), затем вершину xm F^-1 *xk, для которой λk = λm+l(umk) и т.д. После некоторого числа шагов вершина xp совпадет с вершиной x0=a. Путь μ=(a= xp,…, xm, xk, xn =b) будет кратчайшим, и его длина равна λn.

Пусть дан граф:

	x4		x5
x0		x6					x8
					x7
	x1		x2		x3

Решение:

λ0=0

λ 1=+∞ 1

λ 2=+∞ 4 5 7

λ 3=+∞ 7

λ 4=+∞ 1

λ 5=+∞ 4 5 6

λ 6=+∞ 4 4 6

λ 7=+∞ 9 8

λ 8=+∞ 10

Ответ: кратчайший путь из пункта 0 в пункт 8 составляет 10 через точки (x0, x1, x2, x7, x8).

Максимальный поток в сети.

Алгоритм решения:

1. Перенумеровать вершины сети, отличные от x0 и z, произвольным образом .

2. Построить произвольный поток φ на сети.

3. Рассмотреть пути, соединяющие вход x0 сети с выходом z. Если поток φ полный, то перейти к п.4. В противном случае рассмотреть путь μ, соединяющий x0 с z, все дуги которого ненасыщенны. Построить новый поток

	φ (u), u μ,
φ 1=
	φ (u)+k, u μ,

Где k =min (c(u)- φ (u))

u μ

Повторить процесс до получения полного потока.

4. Присвоить целочисленные метки вершинам сети и знаки «+» или «–» дугам по следующим правилам:

а) входу x0 присвоить метку 0;

б) если вершина xi получила некоторую метку, а y – еще непомеченная вершина, то y приобретает метку i, а дуга – знак «+», если φ (u)<c(u);

в) если вершина xi получила некоторую метку, а y – еще непомеченная вершина, то y приобретает метку i, а дуга – знак «–», если φ (u)>0. Остальные непомеченные вершины и дуги меток и знаков не получают;

г) повторить процесс, описанный в п.4 б, в, до тех пор, пока не прекратиться появление новых отмеченных вершин и дуг. Если в результате этого процесса вершина z не получит метки, то поток обладает наибольшей величиной, в противном случае перейти к п.5

5. Рассмотреть последовательность отмеченных вершин λ=(z, xi, xk, xp,…, x0), каждая из которых имеет метку, равную номеру последующей вершины, и последовательность дуг μ (не обязательно путь), соединяющих последовательные вершины из λ. Построить новый поток

	φ (u), u μ,
φ =	φ (u)+1, u μ и имеет знак «+»,
	φ (u)-1, u μ и имеет знак «–»,

и перейти к п.4.

Задача:

			x6
			x5
x0			x4			x7
x1			x2			x3

Ответ:

			x6
			x5
x0			x4			x7
x1			x2			x3

Максимальное количество ед. – 6.