1.4. Задача о комплектном плане

Задачу ЛП с двумя переменными можно решить графически. Возьмем на плоскости систему координат: ось OX₁направим горизонтально и вправо, осьOX₂– вертикально и вверх. Каждое ограничение задачи, раз оно линейное нестрогое неравенство, графически изображается полуплоскостью, граничная прямая которой соответствует уже не неравенству, а равенству. Допустимое множество задачи является пересечением всех этих полуплоскостей и есть выпуклый многоугольник.

Вторая из двух основных теорем ЛП гласит: Если экстремум целевой функции достигается на допустимом множестве, то функция принимает его в какой-то вершине многоугольника – допустимого множества. Исходя из этой теоремы, найти искомый экстремум можно просто перебрав вершины многоугольника и определив ту, в которой значение функции экстремально. Чаще делают по-другому: строят линию уровня целевой функции и двигают ее параллельно в направлении экстремума, стараясь уловить последнюю точку пересечения линии с допустимым множеством. Зададим задачу ЛП с тремя ограничениями и четырьмя переменными, затем зададим выражения x₃иx₄черезx₁иx₂. Теперь переменных осталось две и задача может быть решена графически.

35	41	22	12
2	2	3	4	151
3	1	0	2	156
1	4	4	0	162

Предположим, что в линейной производственной задаче продукция производится комплектно: продукции 3-го вида надо произвести в 3 раза больше, чем 1-го, 4-го в 3 раза больше, чем 2-го вида продукции. Т.е. имеем соотношения x₃=3x₁ иx₄=3x₂.

158	58
8	15	151
6	6	156
13	4	162

P=158x₁+58x₃→max

8x₁+15x₂≤151 (1)

6x₁+6x₂≤156 (2)

13x₁+4x₂≤162 (3)

x₁, x₃0

Искомая точка находится как решение системы:

Ответ: х₁=11.2, х₂=4.09, Р=2006.82

1.5. Оптимальное распределение инвестиций

Эта задача решается с помощью динамического программирования.

Динамическое программирование – это вычислительный метод для ре­шения задач управления определенной структуры. Данная задача с nпере­менными представляется как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной пере­менной.

Предположим, что указано nпунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделеноbрублей. Обозначим черезf_i(x_i)прирост мощности или прибыли наj-мпредприятии, если оно получитx_iрублей капитальных вложений. Требуется найти такое распределение(x₁,x₂,...,x_n)капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибылиz=f₁(x₁)+f₂(x₂)+...+f_n(x_n),при ограничении по общей сумме капитальных вложенийx₁+x₂+...+x_n=b,причем будем считать, что все переменныеx_jпринимают только целые не­отрицательные значенияx_j=0, или 1, или 2, или 3, ...

Функции f_j(x_j)мы считаем заданными, заметив, что их определение – довольно трудоемкая экономическая задача.

Воспользуемся методом динамического программирования для реше­ния этой задачи. Введем параметр состояния и определим функцию состояния. За пара­метр состоянияξпримем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состоянияF_k(ξ)определим как максимальную прибыль на первыхkпредприятиях, если они вместе получаютξрублей. Параметр ξ может изменяться от0до b. Если изξрублей k-оепредприятие получитx_kрублей, то каково бы ни было это значение, остальныеξ-x_kрублей естественно распределить между предприятиями от первого до(k-1)-готак, чтобы была получена максимальная прибыль F_k-1(ξ-x_k). Тогда прибыльkпредприятий будет равна f_k(x_k)+F_k-1(ξ-x_k). Надо выбрать такое значениеx_kмежду0и ξ, чтобы эта сумма была максимальной, и мы при­ходим к рекуррентному соотношению:

F_k(ξ)=max{f_k(x_k)+F_k-1(ξ-x_k)}

0≤x_k≤ ξ

для k=2,3,4,...,n. Если же k=1, то F₁(ξ)=f₁(ξ). (при условии, что функция f₁ возрастающая).

Пусть 4 фирмы образуют объединение. Рассмотрим задачу распределения инвестиций в размере 700 тыс. рублей по этим 4 фирмам. Размер инвестиций пусть будет кратен 100 тыс. рублей. Эффект от направления i-йфирме инвестиций в размереm(сотен тыс. рублей) выражается функциейf_i(m). Приходим к задаче:

f₁(x₁)+f₂(x₂)+f₃(x₃)+f₄(x₄)→max,

x₁+x₂+x₃+x₄≤7,

x₁, x₂, x₃, x₄≥0,

где x_i– пока еще неизвестный размер инвестицийi-йфирме.

xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(x1)	0	70	93	104	110	114	117	119
f2(x2)	0	61	80	93	100	106	112	116
f3(x3)	0	83	105	114	119	121	126	130
f4(x4)	0	75	90	100	102	101	100	97

Прежде всего, заполняем таблицу №1. Значения f₂(x₂) складываем со значениямиF₁(ξ-x₂)=f₁(ξ-x₂) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем и указываем соответствующее значение=100*z₂.

Таблица №1

	ξ-x2	0	100	200	300	400	500	600	700
x2		0	70	93	104	110	114	117	119
0	0	0	70	93	104	110	114	117	119
100	61	61	131	154	156	171	175	178
200	80	80	150	173	184	190	194
300	93	93	163	186	197	203
400	100	100	170	193	204
500	106	106	176	199
600	112	112	182
700	116	116

Красным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 2 предприятиям.

ξ	0	100	200	300	400	500	600	700
F2(ξ)	0	70	131	154	173	186	197	204
z2	0	0	100	100	200	300	300	400

Таблица №2

	ξ-x3	0	100	200	300	400	500	600	700
x3		0	70	131	154	173	186	197	204
0	0	0	70	131	154	173	186	197	204
100	83	83	153	214	237	256	269	280
200	105	105	175	236	259	278	291
300	114	114	184	245	268	287
400	119	119	189	250	273
500	121	121	191	252
600	126	126	196
700	130	130

Красным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 3 предприятиям.

ξ	0	100	200	300	400	500	600	700
F3(ξ)	0	83	153	214	237	259	278	291
z3	0	100	100	100	100	200	200	200

Таблица №3

	ξ-x4	0	100	200	300	400	500	600	700
x4		0	83	153	214	237	259	278	291
0	0	0	83	153	214	237	259	278	291
100	75	75	158	228	253	312	334	353
200	90	90	173	243	268	327	349
300	100	100	183	253	278	337
400	102	102	185	255	316
500	101	101	184	254
600	100	100	183
700	97	97

Красным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 4предприятиям.

ξ	0	100	200	300	400	500	600	700
F4(ξ)	0	83	158	228	253	312	334	353
z4	0	0	100	100	100	100	100	100

Сведем результаты в 4 таблицы. Теперь F₄(700)=353показывает максимальный суммарный эффект по всем 4-м фирмам, аz₄(700)=100– размер инвестиций в 4-ю фирму для достижения этого максимального эффекта. После этого на долю первых 3-х фирм осталось(700-100)и для достижения максимального суммарного эффекта по первым 3-м фирмам в 3-ю надо вложить200, во вторую 200 и первую 200. Красным отмечены оптимальные значения инвестиций по фирмам (z_i)и значения эффектов от них (F_i(ξ)).