§ 2. Анализ финансовых операций и инструментов

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода – разности между конечной и начальной оценками.

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию).

Как оценить операцию с точки зрения ее доходности и риска? Существует несколько разных способов. В этом параграфе мы их и обсудим.

2.1. Принятие решений в условиях неопределенности

Предположим, что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения) рассматривает несколько возможных решений .Ситуация неопределенна, понятно лишь, что наличествует какой-то из вариантов. Если будет принято-e решение, а ситуация есть -я ,то фирма, возглавляемая ЛПР, получит доход . Матрица называется матрицей последствий (возможных решений).Какое же решение нужно принять ЛПР? В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации предварительного характера. Они не обязательно будут приняты ЛПР. Многое будет зависеть, например, от его склонности к риску. Но как оценить риск в данной схеме?

Допустим, мы хотим оценить риск, который несет -eрешение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Т.е. если ситуация есть -я , то было бы принято решение, дающее доход.

Значит, принимая -eрешение мы рискуем получить не, а только, значит принятие -горешения несет риск недобрать .Матрица называется матрицей рисков.

Пример 1.Пусть матрица последствий есть:

Составим матрицу рисков. Имеем Следовательно, матрица рисков есть:

А. Принятие решений в условиях полной неопределенности

Не все случайное можно «измерить» вероятностью. Неопределенность – более широкое понятие. Неопределенность того, какой цифрой вверх ляжет игральный кубик отличается от неопределенности того, каково будет состояние российской экономики через 15лет. Кратко говоря, уникальные единичные случайные явления связаны с неопределенностью, массовые случайные явления обязательно допускают некоторые закономерности вероятностного характера.

Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации. Какие же существуют правила-рекомендации по принятию решений в этой ситуации?

Правило Вальда (правило крайнего пессимизма).Рассматривая-e решение будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход.

Но теперь уж выберем решение с наибольшим . Итак, правило Вальда рекомендует принять решение ,такое что

Так, в вышеуказанном примере, имеем Теперь из чисел -6, 0, -6, 0 находим максимальное. Это – 0 .Значит, правило Вальда рекомендует принять 2-е или 4-е решение.

Правило Сэвиджа (правило минимального риска).При применении этого правила анализируется матрица рисков . Рассматривая -eрешение будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска

Но теперь уж выберем решение с наименьшим . Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение , такое что

Так, в вышеуказанном примере, имеем Теперь из чисел 33, 0, 26, 12 находим минимальное. Это – 0.Значит правило Сэвиджа рекомендует принять 2-е решение.

Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации).Принимается решение,на котором достигается максимум

,

где .Значениевыбирается из субъективных соображений. Еслиприближается к 1,то правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении к 0,правило Гурвица приближается к правилу «розового оптимизма» (догадайтесь сами, что это значит). В вышеуказанном примере при правило Гурвица рекомендует 2-е решение.

В. Принятие решений в условиях частичной неопределенности

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности того, что реальная ситуация развивается по варианту.Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Как здесь принимать решение? Можно выбрать одно из следующих правил.

Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый фирмой при реализации -горешения, является случайной величиной с рядом распределения

qi1		...		qin
p1		...		pn

Математическое ожидание и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также .Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход.

Предположим, что в схеме из предыдущего п. вероятности есть (1/5, 1/5, 1/5, 2/5).Тогда

Максимальный средний ожидаемый доход равен 25,6 –соответствует4-му решению.

Правило минимизации среднего ожидаемого риска. Риск фирмы при реализации -горешения, является случайной величинойс рядом распределения

ri1		...		rin
p1		...		pn

Математическое ожидание и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также .Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск.

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероятностях. Получаем Минимальный средний ожидаемый риск равен 0,соответствует 2-му решению.

Нанесем средние ожидаемые доходы и средние ожидаемые риски на плоскость – доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см. рис.): Получили 4точки. Чем выше точка , тем более доходная операция, чем точка правее –тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точка доминирует точку , еслии и хотя бы одноиз этих неравенств строгое. В нашем случае 2-ая операция доминирует все остальные.

Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбрать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето. В нашем случае, множество Парето, т.е. оптимальных по Парето операций, состоит только из одной 2-ой операции.

Для уточнения распределения вероятностей можно провести пробную операцию. После ее проведения вероятности состояний, характеристики операций и оптимальные решения могут стать совершенно иными.

Первоначальные вероятности и средний ожидаемый доход				Первоначальные вероятности и средний ожидаемый риск
Вероятности и средний ожидаемый доход после пробной операции				Вероятности и средний ожидаемый риск после пробной операции

Максимальная стоимость операции, при которой пробная операция еще оправдана равна: 36-25,6=10,4.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть. Тогда получаем:. Видно, что 2-ая операция – лучшая, а 1-ая – худшая.

С. Правило Лапласа.

Иногда в условиях полной неопределенности применяют правило Лапласа равновозможности, когда все вероятности считают равными. После этого можно выбрать какое-нибудь из двух приведенных выше правил-рекомендаций принятия решений.

2.2. Анализ доходности и рискованности финансовых операций

Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная величина . Средний ожидаемый доход– это математическое ожидание с.в.:, гдеесть вероятность получить доход. А среднее квадратическое отклонение (СКО)– это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считатьколичественной мерой риска операции и обозначать. Таким образом, здесь предлагается новый количественный измеритель риска операции. В финансовой математике этот измеритель считается основным. Напомним, что дисперсия с.в..

Рассмотрим четыре операции . Найдем средние ожидаемые доходыи рискиопераций.

Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:

Q1:	-6	-2	0	4
	1/5	1/5	1/5	2/5

Q2:	0	2	10	28
	1/5	2/5	1/5	1/5

Q3:	-6	-5	-1	8
	1/5	2/5	1/5	1/5

Q4:	0	16	32	40
	1/2	1/8	1/8	1/4

Напомним, как находить и:

Нанесем средние ожидаемые доходы и рискина плоскость – доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см. рис.):

Получили 4 точки. Чем выше точка , тем более доходная операция, чем точка правее – тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точкадоминирует точку, еслиии хотя бы одноиз этих неравенств строгое. В нашем случае 3-я операция доминирует 2-ую, а 1-ую, 3-ю и 4-ую операции сравнивать нельзя, т.к. при переходе от первой операции к 4-ой с ростом риска растет доход. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций по Парето.

Пусть Q1 и Q2 две финансовые операции с эффективностями e1, e2 и рисками r1, r2 соответственно. Пусть t – какое-нибудь число между 0 и 1. Тогда операция Qt=(1-t)Q1+tQ2 называется линейной комбинацией операций Q1, Q2. При движении от 0 к 1 операция Qt изменяется от Q1 до Q2. Эффективность операции Qt равна (1-t)e1+te2, с риском же дело обстоит сложнее. Рассмотрим только случай некоррелированных операций Q1, Q2, тогда дисперсия операции Qt равна (1-t)2∙D1+t2∙D2, где D1, D2 – дисперсии операций, значит риск операции Qt есть.

Пусть Q1 и Q2 две финансовые операции с эффективностями 5 и 70 и рисками 7 и 80 соответственно. Составим операцию Qt, являющуюся их линейной комбинацией и более хорошей, чем какая-либо из имеющихся:

1. Эффективность операции Qt равна et=(1-t)∙5+t∙70=5+65t; (1)

2. Риск операции Qt есть.

Вычислим, при каком операция Qt более хорошая, чем какая-либо из имеющихся. Как видно из (1) при любомэффективность операции Qt больше 5, следовательно, найдем, при котором риск операции Qt меньше либо равен 7. Для этого решим неравенство:,. Получим:. Примером операции Qt может служить: Qt=0,985Q1+0,015Q2. Эффективность такой операции будет равнаet=5,975,риск при этом составитrt≈6,999.

Для большей достоверности можно применить подходящую взвешивающую формулу. Например, пусть взвешивающая формула есть прежняя . Тогда получаем:Видно, что4-я операция – лучшая, а3-я – худшая.

2.3. Задачи формирования оптимальных портфелей ценных бумаг

На финансовом рынке обращается, как правило, множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, акции частных фирм, векселя и т.п. Ценная бумага удостоверяет возможность получения некоторого дохода. В общем случае владелец получит некоторый случайный доход.

Из характеристик ценных бумаг наиболее значимы две: эффективность и рискованность. Эффективность есть некоторый обобщенный показатель дохода или прибыли. Будем считатьслучайной величиной, ее математическое ожидание есть .

При исследовании финансового рынка дисперсию обычно называют вариацией и рискованность обычно отождествляется со средним квадратическим отклонением. Таким образом,и.

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг. Пусть –доля капитала, потраченная на закупку ценных бумаг -говида. Пусть – эффективность (можно считать, доход за некоторый период времени) ценных бумаг -говида, стоящих одну денежную единицу. Черезбудем обозначать ковариацию ценных бумаг -гои-го видов (или корреляционный момент). Пусть–математическое ожидание эффективностии, где– вариация или дисперсия этой эффективности. Рискованность ценной бумаги -говида отождествим со средним квадратическим отклонением.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка называется его портфелем. Эффективность портфеля (в простейшем случае это доход, приносимый ценными бумагами портфеля стоимостью одну денежную единицу за какой-нибудь промежуток времени), вообще говоря, есть случайная величина, обозначим ее через,тогда ожидаемое значение этой эффективности. Дисперсия портфеля есть.

Величина может быть названа риском портфеля. Обычно обозначается .Итак, мы выразили эффективность и риск портфеля через эффективности составляющих его ценных бумаг и их ковариации.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск поменьше. Однако поскольку «нельзя поймать двух зайцев сразу», необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском.

Математическая формализация задачи формирования эффективного портфеля Марковитца такова:

Найти ,минимизирующие вариацию эффективности портфеля, при условии, что обеспечивается заданное значение ожидаемой эффективности портфеля,т.е.; поскольку –доли, то в сумме они должны составлять единицу:

(1)

Оптимальное решение этой задачи снабдим *. Если ,то это означает рекомендацию вложить долю наличного капитала в ценные бумаги -говида. Если же , то содержательно это означает провести операцию «short sale». Если такие операции невозможны, значит необходимо ввести ограничения . Что такое операция «short sale»?

Если ,то инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги -говида (вместе с доходом, какой они бы принесли их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. На эти деньги он покупает более доходные ценные бумаги и получает по ним доход и оказывается в выигрыше!

Если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.

Пусть –эффективность безрисковых бумаг, а – доля капитала в них вложенного. Пусть – средняя ожидаемая эффективность и ,–вариация (дисперсия), СКО эффективности рисковой части портфеля, в рисковую часть портфеля вложено часть всего капитала. Тогда ожидаемая эффективность всего портфеля , вариация портфеляи риск портфеля, (считается, что безрисковые бумаги некоррелированы с остальными). Исключая ,получим ,т.е. ожидаемая эффективность портфеля линейно зависит от его риска.

Рассмотрим задачу об эффективном портфеле в этом случае, он называется эффективным портфелем Тобина. Рисковые виды ценных бумаг будем нумеровать числами от 1до.

Изложим теперь окончательное решение этой задачи.

Пусть –матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, , –векторы-столбцы долей капитала, вкладываемых в -й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, . Пусть также –-мерный вектор-столбец, компоненты которого есть 1.Тогда оптимальное значение долей есть

(2)

Здесь –матрица, обратная к .В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (верхний индексозначает транспонирование вектора-столбца), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, –вектор-столбец размерности. Видно, что этот вектор не зависит от эффективности портфеля.Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг пропорциональный этому вектору также не зависит от.Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от.Однако сумма компонентов векторазависит от,именно, компоненты векторапропорционально увеличиваются с ростом,поэтому долябезрисковых вложений будет при этом сокращаться.

Пример. Сформировать эффективный портфель Тобина заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 3и 4и рисками 4и 12.Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции «short sale» и с какими ценными бумагами?

Решение. Итак, ,,.Зададимся эффективностью портфеля.Теперь надо найти обратную матрицу к матрице .Это просто: . Вычислим знаменатель: ,

Итак, вектор долей рисковых бумаг есть

Таким образом, доли капитала, вложенные в рисковые акции, должны быть разными и каждая из них равна соответственно и. Следовательно, .Понятно, что необходимость в операции «short sale» возникнет, если , т.е. когда . Можно доказать, что риск эффективного портфеля в зависимости от его доходности при наличии безрисковых бумаг равен ,где

Но столь же естественна и задача формирования портфеля максимальной эффективности из всех имеющих заданный риск, т.е. найти ,максимизирующие ожидаемую эффективность портфеля:

при условии, что обеспечивается заданное значение риска портфеля, т.е.

,

поскольку – доли, то в сумме они должны составлять единицу:

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то в такой постановке задача формирования такого оптимального портфеля имеет решение, очень похожее на (2): Оптимальное значение долей рисковых бумаг есть:

(3)

Таким образом, доли капитала, вложенные в рисковые бумаги, должны быть разными и каждая из них равна соответственно и. Следовательно, .

Можно доказать, что эффективность портфеля максимальной эффективности в зависимости от заданного его риска равна .

2.4. Статистический анализ денежных потоков

Исходные данные для анализа: ежедневные (суммарные) денежные вклады населения, в отделение сбербанка в течение 4-х недель (или аналогичный какой-нибудь денежный поток). Для удобства обработки все числа предполагаются целыми двузначными, что всегда можно сделать округлением и масштабированием.

1-я неделя						2-я неделя						3-я неделя						4-я неделя
1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6
40	56	58	44	46	45	44	54	53	55	54	47	47	47	47	47	47	50	50	50	50	50	50	42

Статистические характеристики I:

Денежный поток:

40

56

58

44

46

45

44

54

53

55

54

47

47

47

47

47

47

50

50

50

50

50

50

42

Ранжированный ряд:

40

42

44

44

45

46

47

47

47

47

47

47

50

50

50

50

50

50

53

54

54

55

56

58

Дискретный вариационный ряд:

40	42	44	45	46	47	50	53	54	55	56	58
1	1	2	1	1	6	6	1	2	1	1	1
1/24	1/24	2/24	1/24	1/24	6/24	6/24	1/24	2/24	1/24	1/24	1/24

Многоугольник частот:

Статистические характеристики II:

Интервальный вариационный ряд:

40-42	42-44	44-46	46-48	48-50	50-52	52-54	54-56	56-58	58-60
1/24	1/24	3/24	7/24	0	6/24	1/24	3/24	1/24	1/24

Многоугольник интервальных частостей:

Выборочная функция распределения:

Статистические характеристики III:

	По исходному ряду данных	По дискретному ряду данных	По интервальному ряду данных
Выборочная средняя
Выборочная дисперсия
Выборочное среднеквадратическое отклонение
Несмещенная оценка генеральной дисперсии