Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Условие задачи:

Известна эффективность и риск по трем видам ценных бумаг

m0	m1	m2	σ1	σ2
2	4	9	8	10

Задание:

Необходимо сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 9 и рисками 8 и 10.

Решение:

Пусть x_i - доля капитала, потраченная на закупку ценных бумаг i-го вида,

m₀ - эффективность безрисковых бумаг

x₀ - доля капитала, вложенного в безрисковые бумаги

m_r - средняя ожидаемая эффективность рисковой части портфеля

(1-x₀) - вложено в рисковую часть портфеля всего капитала

m_p =x₀ m₀ +(1-x₀ )m_{r -} ожидаемая эффективность всего портфеля

x₀ m₀ + = m_p x₀ + =1

Пусть V - матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг,

X=(x_i), M=(m_i) - векторы-столбцы долей x_i капитала, вкладываемых в i-й вид

рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого

вида, i=1,.., n;

I - n-мерный вектор-столбец, компоненты которого есть 1.

Тогда оптимальное значение долей x_i есть

.

m₀ =2, M= 4 , V= 64 0 m_p- эффективность портфеля

9 0 100

обратная матрица к матрице V : V^-1 = 1/64 0

0 1/100

V^-1 (M– m₀I)= 1/64 0 * 2 = 1/32

0 1/100 7 7/100

(M– m₀I)^T V^-1 (M– m₀I)=(2 7)* 1/32 = 2/32+49/100=221/400

7/100

вектор долей рисковых бумаг X^* =(400(m_р-2)/221) 1/32

7/100

каждая из рисковых долей равна x^*₁ =25(m_р-2)/442 и x^*₂ =56(m_р-2)/442.

x^*₀ =1-81(m_р-2)/442= (604- 81m_р)/442

Необходимость в операции "short sale" возникнет, если x^*₀ < 0, т.е. когда (604- 81m_р)/442< 0; 604- 81m_р< 0; m_р > 7,46 .

Риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности при наличии безрисковых бумаг равен , где

Таким образом, d =√221/400 = 37/50, а риск r = 50 (m_р-2)/37