Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества

Условие задачи:

12 2 5

3 3 -4 -2

Участвуют 2 игрока. 1-ый выбирает номер строки, а 2-ой независимо от 1-го выбирает номер столбца.

Задание:

определить модель конкуренции и сотрудничества

Решение:

ζ_1-вероятность, с которой первый игрок выберет 1-ую строку

ζ_2-вероятность, с которой второй игрок выберет 2-ую строку

Ц

ена игры ν =

ζ₁₌ ζ_, ζ₂= (1- ζ),

ζ+3(1- ζ) = ν

2 ζ + 3(1- ζ)= ν

2 ζ-4(1- ζ)= ν

5 ζ-2(1- ζ)= ν

3-2ζ= ν

3+ ζ= ν

6ζ-4= ν

7ζ-2= ν

3-2ζ= 6ζ-4

7=8ζ

ζ=7/8, ν=3-2*7/8 =5/4

η1+3η2=5/4

2 η1- 4 η2=5/4, η1=7/8, η2=1/8

Выразим математическое ожидание выигрыша первого игрока (цена игры):

M(P,Q)= xy+2x(1-y)+3y(1-x) -4(1-x)(1-y)= xy+2x-2xy+3y-3xy-4+4y+4x-4xy -8xy+7y+6x-4= -8y(x-7/8)+6(x-7/8)+10/8 = -8(x-7/8)(y-6/8)+10/8

Найдем дисперсию (риск):

1)Пусть игроки применяют свои оптимальные стратегии:

D(P^,Q^)=(-1)²*7/8*6/8+2²*7/8*2/8+3²*6/8*1/8+4²*1/8*2/8- (5/4) ² = =42/64+56/64+54/64+32/64- (5/4) ² =21/16

Риск r=D1,15

2)Пусть, 1-ый игрок применяет свою оптимальную стратегию P^(7/8,1/8), а 2-ой– 1-ую чистую стратегию Q1(1,0), тогда риск будет равен:

D(P^,Q₁)=1² *7/8+3²*1/8- 25/16=7/16

Риск r=D0,66

3)Пусть, 1-ый игрок применяет свою оптимальную стратегию P^(7/8,1/8), а 2-ой– 2-ую чистую стратегию Q2(0,1), тогда риск будет равен:

D(P^,Q₂)=2²*7/8+4²*1/8 – 25/16=63/16

Риск r=D1,98

4)Пусть, 2-ой игрок применяет свою оптимальную стратегию Q^(6/8,2/8), а 1-ый– 1-ую чистую стратегию P1(1,0), тогда риск будет равен:

D(P₁,Q^)= 1 ²*6/8 +2²*2/8 – 25/16=3/16

Риск r=D0,43

5)Пусть, 2-ой игрок применяет свою оптимальную стратегию Q^(6/8,2/8), а 1-ый– 2-ую чистую стратегию P2(0,1), тогда риск будет равен:

D(P₂,Q^)=3²*6/8+4²*2/8 – 25/16=147/16

Риск r=D3,03

Из всех возможных рисков наименьший будет, если 2-ой игрок применяет свою оптимальную стратегию Q^(6/8,2/8), а 1-ый– 1-ую чистую стратегию P1(1,0), тогда риск будет равен 0,43; цена игры ν=M(P₁,Q^)= 5/4.

Анализ доходности и риска финансовых операций

Условие задачи: на финансовом рынке имеется возможность осуществить несколько финансовых операций Q₁, Q₂, Q₃, Q_,4, ожидаемые эффективности и риски которых известны.

Q1	:	0	8	12	24
		1/4	1/4	1/3	1/6
Q2	:	-6	-2	0	-6
		1/4	1/4	1/3	1/6

Q3	:	0	2	4	16
		1/3	1/3	1/6	1/6
Q4	:	-6	-5	-4	3
		1/3	1/3	1/6	1/6

Задание: провести анализ эффективности данных операций

Решение: эффективность есть случайная величина Q, с

редний ожидаемый доход Q =МQ это математическое ожидание с.в. Q: , где p_i есть вероятность получить доход q_i.

риск -среднее квадратическое отклонение r=- это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода.

D[Q] = M [(Q - Q)²] = M [Q²] - Q².

Найдем средние ожидаемые доходы Q_i и риски r_i операций.

Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:

Q1	:	0	8	12	24	Q1 = 0*1/4+8*1/4+12*1/3+24*1/6=10
		1/4	1/4	1/3	1/6	D[Q] =0*1/4+64*1/4+144*1/3+576*1/6 -10²=60	r1 = √ D  7,75
Q2	:	-6	-2	0	-6	Q2 = -6*1/4-2*1/4+0*1/3-6*1/6=-3
		1/4	1/4	1/3	1/6	D[Q] =36*1/4+4*1/4+0*1/3+36*1/6- (-3) ²=7	r2 = √ D 2,65
Q3	:	0	2	4	16	 Q3 =0*1/3+2*1/3+4*1/6+16*1/6=4
		1/3	1/3	1/6	1/6	D[Q] =0*1/3+4*1/3+16*1/6+256*1/6- 4²=92/3	r3 = √ D  5,54
Q4	:	-6	-5	-4	3	Q4 = -6*1/3-5*1/3-4*1/6+3*1/6=-23/6 ( -3,83)
		1/3	1/3	1/6	1/6	D[Q] =36*1/3+25*1/3+16*1/6+9*1/6- (-23/6)²=353/36	r4 = √ D  3,13

Н

Q₁

анесем средние ожидаемые доходыQ и риски r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а риски

п

r

о вертикали

Q3

Q4

Q2

Q

Получили 4 точки. Чем правее точка (Q, r), тем более доходная операция, чем точка выше - тем более она рисковая. Q_i доминирует Q_j, если Q_i>=Q_j b и r_i<r_j

Для нахождения лучшей операции применяют формулу , которая для пар

(Q, r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию

 (Q)= 2Q - r

 (Q₁)=2*10-7,75=12,25;  (Q₂)=2*(-3)-2,65= -8,65;  (Q₃)=2*4-5,54=2,46;

 (Q₄)= 2*(-23/6)-3,13≈ -10,8 Видно, что 1-ая операция – лучшая, а 4-ая – худшая.