Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений
Условие задачи:
указано n пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделено b рублей. Обозначим через fi(xi) прирост мощности или прибыли на j-м предприятии, если оно получит xi рублей капитальных вложений.
Производственное объединение состоит из четырех предприятий (n=4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 тыс. рублей (b=700), выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей.
-
xj
0
100
200
300
400
500
600
700
f1(x1)
0
5
8
10
12
13
14
15
f2(x2)
0
5
10
14
17
19
21
22
f3(x3)
0
8
13
18
21
23
25
27
f4(x4)
0
6
13
20
27
33
38
41
Задание:
Требуется найти такое распределение (x1,x2, ... , xn) капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли z = f1(x1) + f2(х2) + ... + fn(xn)
при ограничении по общей сумме капитальных вложений
Решение:
x1 + x2 + ... + xn = b
будем считать, что все переменные xj принимают только целые неотрицательные значения
з
аполняем
таблицу 2
|
|
- x2 |
0 100 200 300 400 500 600 700 |
|
x2 |
F1( - x2) f2(x2) |
0 5 8 10 12 13 14 15 |
|
|
0 |
0 5 8 10 12 13 14 15 |
|
100 |
5 |
5* 10 13 15 17 18 19 |
|
200 |
10 |
10* 15* 18 20 22 23 |
|
300 |
14 |
14 19* 22 24 26 |
|
400 |
17 |
17 22* 25* 27 |
|
500 |
19 |
19 24 27* |
|
600 |
21 |
21 26 |
|
700 |
22 |
22 . |
0
Таблица 3
|
|
0 100 200 300 400 500 600 700 |
|
F2() |
0 5 10 15 19 22 25 27 |
|
|
0 100 200 200 300 400 400 500 |
()
Таблица 4
|
|
- x3 |
0 100 200 300 400 500 600 700 |
|
x3 |
F2( - x3) f3(x3) |
0 5 10 15 19 22 25 27 |
|
|
0 |
0 5 10 15 19 22 25 27 |
|
100 |
8 |
8* 13 18 23 27 30 33 |
|
200 |
13 |
13* 18 23 28* 32 35 |
|
300 |
18 |
18* 23* 28* 33* 37* |
|
400 |
21 |
21 26 31 36 |
|
500 |
23 |
23 28 33 |
|
600 |
25 |
25 30 |
|
700 |
27 |
27 |
0
Таблица 5
|
|
0 100 200 300 400 500 600 700 |
|
F3() |
0 8 13 18 23 28 33 37 |
|
|
0 100 200 300 300 300 300 300 |
()
Таблица 6
|
|
- x4 |
0 100 200 300 400 500 600 700 |
|
x4 |
F3( - x4) f4(x4) |
0 8 13 18 23 28 33 37 |
|
0 |
0 |
37 |
|
100 |
6 |
39 |
|
200 |
13 |
41 |
|
300 |
20 |
43 |
|
400 |
27 |
45 |
|
500 |
33 |
46 |
|
600 |
38 |
46* |
|
700 |
41 |
41 . |
В табл. 6 заполняем только одну диагональ для значения = 700. Наибольшее число на этой диагонали: Zmax = 46 тыс. руб.,
х*4
=
4
(700) = 600 тыс.
руб.
На долю остальных трех предприятий остается 100 тыс. руб. Из табл. 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено
x*3
=
3
(700-x*4)
=
3
(100) = 100 тыс.
руб.
Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:
x*1 =0; x*2 =0; x*3 = 100; x*4 = 600.
Оно обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли 46 тыс. руб.
f3(x*3) + f4(x*4) = z max = 8+38=46