Транспортная задача линейного программирования

Условие задачи:

однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах производства (хранения) в количествах а₁, а₂,..., а_m единиц, необходимо распределить между n пунктами потребления, которым необходимо соответственно b₁, b₂,..., b_n единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения равна с_ij и известна для всех маршрутов.

А(а₁, а₂, а₃) = (45; 55; 80); В(b₁, b₂, b₃, b₄) = (30; 55; 44; 42);

2 3 6 4

C = 4 1 5 7

5 2 3 3

Задание:

необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.

Решение:

Обозначим через х_ij количество груза, планируемого к перевозке от i-го поставщика j-му потребителю. При наличии баланса производства и потребления

математическая модель транспортной задачи будет выглядеть так: найти план перевозок

Х = (х_ij), i = 1,m; j = 1,n

минимизирующий общую стоимость всех перевозок

при условии, что из любого пункта производства вывозится весь продукт

и любому потребителю доставляется необходимое количество груза

причем х₁₁ > 0 ,. . . ., x_mn > 0.

Общий объем производства а_i = 45+55+80=180 больше, чем требуется всем потребителям b_i = 30+55+44+42= 171, т.е. имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом потребления 180-171 = 9 единиц, причем тарифы на перевозку в этот пункт условимся считать равными нулю.

Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу северо-западного угла.

Потреблен.	b1 =30	b2 =55	b3 =44	b4 =42	b5 =9
Производство
a1= 45	30	6		*	9	p1=0
a2= 55		49	6			p2= -2
a3= 80			38	42		P3= -4
	q1=2	q2=3	q3=7	q4=7	q5=0

_ij = p_i + q_j - c_ij i = 1,m; j = 1,n

Положим, что р₁ = 0. Остальные потенциалы находим из условия, что для базисных клеток . В данном случае получаем

₁₁ = 0, p₁ + q₁ - c₁₁ = 0, 0+q₁ –2 = 0, q₁ = 2

₁₂ = 0, p₁ + q₂ - c₁₂ = 0, 0+q₂ –3 = 0, q₂ = 3

₂₂ = 0, p₂ + q₂ – c₂₂ = 0, p₂+3 –1 = 0, p₂ = -2

₂₃ = 0, p₂ + q₃ - c₂₃ = 0, -2 +q3 –5 = 0, q₃ = 7

₃₃ = 0, p₃ + q₃ – c₃₃ = 0, p₃+7 –3 = 0, p₃ = - 4

₃₄ = 0, p₃ + q₄- c₃₄ = 0, - 4 +q₄ –3 = 0, q₄ = 7

₁₅ = 0, p₁ + q₅ – c₁₅ = 0, 0 +q₅ –0 = 0, q₅ = 0

вычисляем оценки всех свободных клеток:

₂₁ = p₂ + q₁ - c₂₁ = -2+2-4 = -4

₃₁ = p₃ + q₁ - c₃₁ = -4+2-5 = -7

₃₂ = p₃ + q₂ - c₃₂ = -4+3-2 = -3

₁₃ = p1 + q₃ - c₃₃ = 0+7-6 = 1

₁₄ = p₁ + q₄ – c₁₄ = 0+7-4 = 3

₂₄ = p₂ + q₄ – c₂₄ = -2+7-7 = -2

₁₅ = p₁ + q₅ – c₁₅ = 0

₂₅ = p₂ + q₅ – c₂₅ = -2

₃₅ = p₃ + q₅ – c₃₅ = - 4

Находим наибольшую положительную оценку max () = 3 = ₁₄

Строим цикл пересчета 14-12-22-23-33-34, = 6

Получаем второе базисное допустимое решение:

Потреблен.	b1 =30	b2 =55	b3 =44	b4 =42	b5 =9
Производство
a1= 45	30	0		6	9	P1= 0
a2= 55		55				p2= -2
a3= 80			44	36		P3=-1
	q1= 2	q2= 3	q3= 4	q4= 4	q5= 0

Находим новые потенциалы, новые оценки. Оценки всех свободных клеток:

Находим новые потенциалы, новые оценки.

₁₁ = 0, p₁ + q₁ – c₁₁ = 0, 0+q1 -2 = 0, q1 = 2

₁₂ = 0, p₁ + q₂ - c₁₂ = 0, 0+q₂ -3 = 0, q₂ = 3

₁₄ = 0, p₁ + q₄ - c₁₄ = 0, 0+q₄+4 = 0, q₄ = 4

₂₂ = 0, p₂ + q₂ – c₂₂ = 0, p₂+3-1 = 0, p₂ = -2

₃₃ = 0, p₃ + q₃ – c₃₃ = 0, -1 +q₃-3 = 0, q₃ = 4

₃₄ = 0, p₃ + q₄ – c₃₄ = 0, p₃ + 4-3 = 0, p₃ = -1

₁₃ = p₁ + q₃ – c₁₃ = 0+4-6 = -2

₂₁ = p₂ + q₁ - c₂₁ = -2+2-4 = -4

₂₃ = p₂ + q₃ – c₂₃ = -2+4-5 = -3

₂₄ = p₂ + q₄ – c₂₄ = -2+4- 7= -5

₂₅ = p₂ + q₅ – c₂₅ = -2+0-0 = -2

₃₁ = p₃ + q₁ – c₃₁ = -1+2-5 = -4

₃₂ = p₃ + q₂ – c₃₂ = -1+3-2 = 0

₃₅ = p₃ + q₅ – c₃₅ = -1+0-0 = -1

Пришли к таблице, для которой все_ij  0 i = 1,m; j = 1,n

Оценки удовлетворяют условию оптимальности, следовательно решение….

30 0 0 6

X= 0 55 0 0

0 0 44 36

Общая стоимость перевозок = 30*2+55+44*3+6*4+36*3= 379 ед.