Двойственная задача

Условие задачи:

Знакомый предприниматель П (Петров), занимающийся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить у₁ рублей за каждую единицу первого ресурса, у₂ руб – второго, у₃ руб – третьего.

Задание:

при каких ценах у₁, у₂, у₃ мы можем согласиться с предложением П

Решение:

Величины у₁, у₂, у₃ прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.

	30	25	14	12	=С
	2	3	0	4	148
А=	4	1	5	0	116	=В
	0	2	4	3	90

проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче : найти вектор двойственных оценок у(у₁, y₂, y₃)

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

W= 148y₁ + 116y₂ + 90y₃

2у₁ + 4у₂  30

3у₁ + 1у₂ + 2у₃ 25

5у₂ + 4у₃ 14

4y₁ + 3y₃  12

y₁0, y₂0, y₃0

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений (х₁, х₂, х₃, х₄) и (y₁, y₂, y₃) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий

х₁ (2у₁ + 4у₂ -30) = 0 y₁ (2x₁+3x₂+ 4x₄-148) = 0

х₂ (3у₁ + 1у₂ + 2у₃- 25) = 0 y₂ (4x₁+ x₂+5x₃ -116) = 0

х₃ ( 5у₂ + 4у₃- 14) = 0 y₃ ( 2x₂+4x₃+3x₄- 90) = 0 .

х₄ (4y₁ + 3y₃ - 12) = 0

Ранее было найдено, что в решении исходной задачи x_1>0_, x_2>0.

2у₁ + 4у₂ -30= 0

3у₁ + 1у₂ + 2у₃- 25 = 0

Если y₃=0, то

2y₁+4y₂=30

3y₁+y₂=25

y₁=7,y₂=4

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

у₁=7; у₂=4; у₃=0,

причем общая оценка всех ресурсов равна

W= 148y₁ + 116y₂ +90y₃=1036+464+0=1500.

Экономический смысл: двойственная оценка второго ресурса у₁=7 показывает, что добавление одной единицы первого ресурса обеспечит прирост прибыли в 7 единиц.

Задача о "расшивке узких мест производства"

Условие задачи: при выполнении оптимальной производственной программы первый и второй ресурсы используются полностью, т.е. образуют узкие места производства, нужно их заказывать дополнительно.

Задание: найти вектор дополнительных объемов ресурсов T (t₁, t₂, 0), максимизирующий суммарный прирост прибыли W = 7t₁ + 4t₂ , при условии

H + Q^-1T 0,и сохранения двойственных оценок ресурсов и структуры производственной программы.

Решение:

предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

36 2/5 -1/5 0 t1 20 + -1/10 3/10 0 t2 ≥0 18 -4/5 2/5 1 0	t1 148 t2 ≤1/3* 116 0 90
	t1,t2≥0.

-2/5*t₁ +1/5*t₂<=36

1/10*t₁-3/10*t₂<=20

4/5*t₁-2/5*t₂<=18

t₁<=148/3 ; t₂<=116/3

I

III

II

Программа «расшивки» имеет вид:

t₁=41 5/6 , t₂= 38 2/3 , t₃=0 и прирост прибыли составит W = 7t₁ + 4t₂ = 447 ½ .

Сводка результатов приведена в таблице:

Cj	30	25	14	12	b	x4+i	yi	ti
	2	3	0	4	148	0	7	41 5/6
aij	4	1	5	0	116	0	4	38 2/3
	0	2	4	3	90	18	0	0
xj	20	36	0	0	1500			447 ½
Δj	0	0	6	16