1. Линейная производственная задача

Условие задачи:

Предприятие может выпускать 4 вида продукции, используя для этого 3 вида ресурсов. Известна технологическая матрица А затрат любого вида ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли.

2 3 0 4 148

A = 4 1 5 0 B= 116 C=(30 25 14 12)

0 2 4 3 90

Задание:

составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль при имеющихся ограниченных ресурсах

Решение:

Примем следующие обозначения:

i – номер группы оборудования (i=1,2, … , m);

j – номер вида изделия (j=1,2, … , n);

a_ij – норма времени на обработку единицы i-го изделия на j-ой группе оборудования;

b_i – действительный фонд времени работы i-й группы оборудования;

x_i – планируемое количество единиц j-го изделия;

(x₁, x₂, … , x_n) – искомый план производства.

x₁,x₂,x₃,x₄>=0

Составим функция прибыли (целевую функцию):

Z=30x₁+25x₂+14x₃+12x₄

Необходимо составить производственную программу (х₁, х₂, …, х_n) так, чтобы функция Z приняла наибольшее значение при выполнении всех других условий:

2x₁+3x₂+ 4x₄<=148 1 вид ресурса

4x₁+ x₂+5x₃ <=116 2 вид ресурса

2x₂+4x₃+3x₄<=90 3 вид ресурса

Вводим дополнительные неотрицательные неизвестные x₅, x₆, x₇≥0 – остатки ресурсов, решим задачу с помощью симплексной таблицы:

2х₁+3х₂+4х₄+х₅=148

4х₁+х₂+5х₃+х₆=116

2х₂+4х₃+3х₄+х₇=90

Наиболее выгодно производить продукцию 1-гол вида, т.к. прибыль на единицу продукции наибольшая.

Выясним, до каких пор ресурсы позволяют увеличить выпуск продукции

х₅=148-2х₁-3х₂-4х₄

х₆=116-4х₁-х₂-5х₃

х₇=90-2х₂-4х₃-3х₄

х₂=х₃=х₄=0, увеличивая х1, значения базисных переменных должны быть неотрицательны

148-2х₁>=0 х₁<=148/2 х₁<=74

116-4х₁>=0 х₁<=116/2 х₁<=29

х₁=29, может принять при нулевых значениях других свободных переменных;

х₁=29, х₂=0, х₃=0, х₄=0, х₅=90, х₆=0, х₇=90 –новое базисное неотрицательное решение, х₁-разрешающая переменная, min(b_i/a_i>0)= min(74,29)=29-разрешающее уравнение –2-е, разрешающий элемент- а₂₁=4

Получаем новый предпочитаемый эквивалент системы:

10/4х₂-10/4х₃+4х₄+х₅-1/2х₆=90

х1+1/4х₂+5/4х₃+ 1/4х₆ =29

2х₂+4х₃+3х₄+ х₇ =90

Приравняв к нулю свободные переменные х₂, х₃, х₄, х₆, получили новое базисное неотрицательное решение , совпадающее с первоначальным, первые четыре компоненты определяют производственную программу: х₁=29, х₂=0, х₃=0, х₄=0

Исследуем, является ли эта программа наилучшей, выразим ф-цию прибыли через новые свободные переменные х₂, х₃, х₄, х₆

Z=870+30(29-1/4х₂-5/4х₃-1/4х₆)+25х₂+14х₃+12х₄

Z=870+17,5х₂-23,5х₃+12х₄-7,5х₆

Наиболее быстро ф-ция растет при возрастании х2, принимаем х2 за разрешающую неизвестную, разрешающее уравнение min(90*4/10; 29*4/1; 90/2)=90*4/10=36

Новый вид системы

х₂-х₃+8/5х₄+2/5х₅-1/5х₆ =36

х₁+3/2х₃-2/5х₄-1/10х₅+3/10х₆ =20

6х₃-1/5х₄-4/5х₅+2/5х₆+х₇=18

х1=20,х2=36, х3=0, х4=0, х5=0, х6=0, х7=18

Рассчитываем таблицу до тех пор пока все j не станут неотрицательными. Экономический смысл последней строки: например, ₃=6 – если произвести одну единицу продукции 3-го вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 6 единиц. Вектор Н(36,20,18) показывает, что надо произвести 36 единиц 1-го продукта, 20 единицы 2-его продукта, 3-ий и 4-ый продукт вообще не производить;

при этом остатки ресурсов:

Первого вида x5=0

Второго вида x6= 0

Третьего вида x7=18

…и прибыль будет равна Z=30*20 + 25*36= 1500, производственная программа является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыль.

Ć	Базис	Н	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
0	X5	148	2	3	0	4	1	0	0
0	X6	116	4	1	5	0	0	1	0
0	X7	90	0	2	4	3	0	0	1
	Z0-Z	0-Z	-30	-25	-14	-12	0	0	0
0	X5	90	0	5/2	-5/2	4	1	-1/2	0
30	X1	29	1	1/4	5/4	0	0	1/4	0
0	X7	90	0	2	4	3	0	0	1
	Z0-Z	870-Z	0	-35/2	47/2	-12	0	15/2	0
25	X2	36	0	1	-1	8/5	2/5	-1/5	0
30	X1	20	1	0	3/2	-2/5	-1/10	3/10	0
0	X7	18	0	0	6	-1/5	-4/5	2/5	1
	Z0-Z	1500-Z	0	0	6	16	7	4	0

Обращенный базис

2/5 -1/5 0

Q^-1 = -1/10 3/10 0

-4/5 2/5 1

проверить, что

Н=Q^-1*B

36 148 2/5 -1/5 0 36

H= 20 B 116 * Q^-1 -1/10 3/10 0 =H 20

18 90 -4/5 2/5 1 18