2.2. Анализ доходности и рискованности финансовой операции.

Финансовая операция является рискованной, если она имеет хотя бы два исхода, неравноценных в системе предпочтений ЛПР. Например, операция Q[-2,10], означающая, что ЛПР может получить доход 10 или убыток -2, является рискованной. Операция Н[3,12] также является рискованной, ибо даже получив доход 3, ЛПР будет недоволен—мог бы получить 12.

Анализ по доходу и риску набора операций вероятностно характеризуемых.

операции	Доходы и вероятности	средний ожидаемый доход	средний ожидаемый риск
1 2 3 4	(-6,1/20)(-2,1/4)(-1,1/5)(14,1/2) (0,1/2)(8,1/5)(10,1/4)(40,1/20) (-8,1/4)(-2,1/5)(-1,1/20)(10,1/2) (2,1/3)(8,1/3)(10,1/6) (20,1/6)	6 6,1 2,55 8,3	8,1 8,9 7,8 6,1

Средний ожидаемый доход находим следующим образом:

m₁ = (-6)*1/20 — 2*1/4 — 1*1/5 + 14*1/2 = 6

Средний ожидаемый риск находим следующим образом:

r²₁=((-6)²*1/20 + (-2)²*1/4 + (-1)²*1/5 + 14²*1/2) — 6 ² = 65; r₁= 8,1

Нанесем средние ожидаемые доходы m и средние ожидаемые риски r на плоскость - доход откладываем по вертикали, а риски по горизонта­ли (см.рис.): Получили 4 точки. Чем выше точка (m,r), тем более доходная операция, чем точка правее - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точка (m',r') доминирует точку (m,r), если m '≥ m и r '≤ r и хотя бы одно из этих неравенств строгое. В нашем случае 2-я операция доминирует все остальные.

Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптималь­ности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбрать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптималь­ных по Парето. В нашем случае, множество Парето, т.е. оптимальных по Парето операций, состоит только из одной 2-й операции. Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (m,r) дает одно число, по кото­рому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть f(m) = 2m - r. Тогда получаем: f(m₁) = 3,9; f(m₂)= 3,3 , f(m₃)=-2,7 , f(m₄)= 10,5. Видно, что 4-я операция — лучшая, а 3-я — худшая.

m m₄

m₂

m₁

m₃

r

Множество недоминируемых операций (оптимальных по Парето) состоит из точки 4.

2.3. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка называется его портфелем. Эффективность портфеля (в простейшем случае это доход, приносимый ценными бумагами портфеля стоимостью одну денежную единицу за какой-нибудь промежуток времени) есть слу­чайная величина, обозначим ее черезЕр, тогда ожидаемое значение этой эффективностиm_р=M[E_p]=x_im_i. Дисперсия портфеля естьD[E_p]=x_ix_jV_ij.

Величина

может быть названа риском портфеля. ОбычноD[E_p]обозначаетсяV_p.Итак, мы выразили эффективность и риск портфеля через эффективности составляющих его ценных бумаг и их ковариации.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг хочет иметь эффективность побольше, а риск поменьше. Однако необходимо сделать опреде­ленный выбор между эффективностью и риском.

Математическая формализация задачи формирования оптимального портфеля такова:

Найти x_i,минимизирующие вариацию эффективности портфеляV_p=x_ix_jV_ij ,при условии, что обеспечивается заданное значение ожидаемой эффективности портфелят_p , т.е.x_im_i = m_p; посколькуx_i, - доли, то в сумме они должны составлять единицу:x_i = 1. Оптимальное решение этой задачи обозначимx_i*.

Пусть V-матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг,Х=(хi), М=(тi) -векторы-столбцы долейхi,капитала, вкладываемых вi-й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида,i=i,...,n.Пусть такжеI-n-мерный вектор-столбец, компоненты которого есть 1. Тогда оптимальное значение долейх*есть

Здесь V^-1- матрица, обратная кV .В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (верхний индексТозначает транспонирование вектора-столбца), тоже получится число, причем кон­станта, определяемая рынком и не зависящая от инвестора,V^-1(M-m₀I) -вектор-столбец размерностип.Видно, что этот вектор не зависит от эф­фективности портфелят_р.Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг пропорциональный этому вектору также не зависит отm_p. Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит отm_p.Од­нако сумма компонентов вектораX*зависит отт_p,именно, компоненты вектораX*пропорционально увеличиваются с ростомт_p,поэтому доляx₀ безрисковых вложений будет при этом сокращаться.

1) Необходимо сформировать оптимальный портфель заданной эффектив­ности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некор­релированных рисковых ожидаемой эффективности 5 и 6 и рисками 8 и 12. Решение. m₀ = 2,

Зададимся эффективно­стью портфеля т_р=4.Теперь надо найти обратную матрицу к матрицеV .

Вычислим знаменатель

Итак, вектор долей рисковых бумаг есть

Таким образом, рисковые доли должны быть x₁= 27/59, х₂= 16/59.Следовательно,х₀ = 1— 27/59 — 16/59 = 43/59.

Можно доказать, что риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности при наличии безрисковых бумаг равен (m_р-m_o)/d,где

2) Задача формирования портфеля макси­мальной эффективности из всех имеющих риск не более заданного.

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то в такой постановке зада­ча формирования такого оптимального портфеля имеет решение, очень похожее на предыдущее: Оптимальное значение долей х*рисковых бумаг есть:

Предположим, что _р= 5

Тогда имеем, используя расчеты предыдущей задачи:

Таким образом, рисковые доли должны быть x₁ = 135/118, х₂ = 40/59.Следовательно,х₀ = 1 — 135/118 — 40/59 = -97/118. Так какх₀ < 0, то возникает необходимость в проведении операции “short-sale” (или просто взять нужную сумму в долг).

Можно доказать, что эффективность портфеля максимальной эффек­тивности в зависимости от заданного его риска _р равна