Следовательно, прибыль -й фирмы равна, гдеПоведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать свою прибыль.

Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е. объем ее выпуска . Тогда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации

прибыли: , т.е.

Аналогично бы действовала вторая фирма, т.е. выбрала бы свой выпуск в объеме В дальнейшем предположим, тогда, и эту величину обозначим.

А. Стратегия Курно. Предположим, что производственные циклы фирм совпадают и фирмы выбирают свои оптимальные выпуски, зная объем производства своего конкурента за прошлый период и, предполагая, что такой же объем будет и в данный период. На множестве двумерных векторов рассмотрим отображение Курно ) . Можно доказать, что при любом начальном векторепоследовательность итераций –векторовсходится к вектору с координатамиЭта точка называется точкой Курно.

Итак, в этом случае:

прибыли фирм суммарная прибыль

цена на товар

Б. Стратегия Стакельберга. Что будет, если одна из фирм сознательно раскроет свою стратегию? Пусть, например, первая фирма даст возможность второй узнать свой ход , тогда вторая фирма ответит оптимальным для нее образом:. Первая фирма будет теперь действовать, исходя именно из такого поведения второй фирмы. Но, конечно, прежде чем довести до сведения второй фирмы свой ход, Первая просчитает этот свой ход, исходя из максимизации прибыли:

откуда и получаем так называемую точку Стакельберга

Прибыли фирм при этом равны cуммарная прибыль, т.Е. Прибыли первой фирмы больше, а прибыли второй и суммарная прибыль меньше, чем в точке Курно; цена товара равна, и она меньше чем в точке Курно.

В. Объединение двух фирм. Пусть теперь фирмы объединятся (тем самым они образуют монополию своего товара на рынке), тогда суммарная прибыль равна , максимум прибыли достигается при выпуске, при этом прибыль фирмы и цена ее товара равны

Результаты исследования сведены в таблицу.

	X1	X2	X	W1	W2	W	P
Точка Курно	d/3	d/3	2d/3	bd2/9	bd2/9	2bd2/9	c-2bd/3
Точка Стакельберга	d/2	d/4	3d/4	bd2/8	bd2/16	3bd2/16	c-3bd/4
Монополия			d/2			bd2/4	c-bd/2

Для потребителя наиболее предпочтительна точка Стакельберга, в которой цена товара наинизшая, а объем выпуска наибольший, а менее всего благоприятна ситуация монополии или картеля, в которой цена товара наивысшая, выпуск самый малый, зато суммарная прибыль фирм самая большая.

Г. Угрозы и торги при взаимодействии двух фирм. Остановимся еще на некоторых моментах.

1) В стратегии Стакельберга первая фирма находится явно в более выгодной ситуации – ее прибыль в два раза больше. Возможно, вторая фирма не захочет с этим согласиться. Но все, что она может сделать – это изменить как-нибудь свой выпуск. Однако при этом ее прибыль только лишь уменьшится. Однако уменьшится и прибыль первой фирмы. Если первая фирма забеспокоится, то возможен разумный торг. Однако, если первая фирма более мощная, то она может сознательно пойти на уменьшение своей прибыли, продолжая выпускать , в надежде, что уменьшение прибыли второй фирмы “образумит” ее, т. е. заставит вернуться к выпуску.

2) Из таблицы видно, что первая фирма во всех ситуациях: в точке Курно, при стратегии Стакельберга, получает прибыль не более . Есть ли возможность получить большую прибыль? Если она более мощная, чем вторая фирма, то она может навязать второй фирме стратегию Стакельберга, а затем предложить перейти к выпускам по. При этом ее прибыль останется прежней - , но прибыль второй фирмы увеличится сдоПоэтому является разумным предложить второй фирме разделить этот излишек вмежду обеими фирмами, тем самым прибыль первой фирмы превысит.

Вопросы для лучшего усвоения.

1. Поясните на примере стратегии Стакельберга, почему иной раз не стоит идти на переговоры с конкурентом?

2. Докажите, что если для какой-то пары прибылей существует обеспечивающая их пара выпусков, то для любой пары не больших прибылей также существует обеспечивающая их пара выпусков.

3. Пара выпусков называется оптимальной по Парето, если не существует выпусков , таких, что прибыли обеих фирм не уменьшились и прибыль хотя бы одной увеличилась. Найдите множество пар выпусков, оптимальных по Парето.

4. Найдите на плоскости множество пар прибылей, которые могут получить фирмы при всевозможных режимах работы.

2. Кооперативная биматричная игра как модель конкуренции и сотрудничества.

Конфликт - это такая ситуация, когда имеется более одного участника, цели которых не совпадают и действия которых не являются совершенно независимыми. Хорошей моделью конфликта являются игры, кооперативные и некооперативные. Рассмотрим такие игры с двумя участниками.

Абстрактной моделью такого конфликта является так называемая биматричная игра, основу которой составляет таблица-биматрица.

2-ой участник

1-ый участник

Здесь – множество возможных выборов 1-го участника,– то же для 2-го участника;– выигрыши 1-го и 2-го участников игры. Получилась таблица, которая и называется биматрица.

Ход первого игрока состоит в выборе им какой-то строки, ход второго – в выборе им какого-то столбца. Если первый выбрал -ю строку, а второй –-й столбец, то первый получает, а второй –. В этом и состоит партия игры. Каждый из игроков хочет выиграть как можно больше. Вообще говоря, удается установить некоторые закономерности таких игр лишь, если игрокам предстоит сыграть достаточно много партий. В таком случае, "как можно больше" означает "как можно больше в среднем за партию игры". Для этого игроки должны найти некоторую разумную манеру игры или по-другому стратегию игры.

Простейшими стратегиями являются вероятностные стратегии или смешанные, и их частный случай – чистые стратегии.

Стратегия первого называется смешанной, если выбор -й строки производится им с некоторой вероятностью; такую стратегию можно отождествить с распределением вероятностейна множестве строк.

Аналогично определяются смешанные стратегии второго.

В кооперативных играх игроки обычно действуют по согласованной совместной стратегии. Чистая совместная стратегия есть просто указание совместного выбора игроками какого-нибудь элемента биматрицы. Совместная смешанная стратегия есть распределение вероятностей на множестве элементов биматрицы.

Анализ кооперативной биматричной игры двух лиц покажем на примере.

Пусть биматрица игры есть , где. На плоскости строится многоугольник ABCD – выпуклая оболочка множества всех точек. Каждая точкаэтого многоугольника может трактоваться как средний выигрыш игроков при некоторой смешанной совместной стратегии игроков. При этом точкадоминирует другую точку, еслии. Понятно, что оптимальная стратегия игроков не может дать

доминируемую точку.

Множество недоминируемых точек называется множеством оптимальности по Парето (на рис. – ломаная BCD). Итак, оптимальная стратегия должна быть точкой из множества Парето.

Существует еще меньшее множество, чем множество Парето, оно называется переговорным множеством. Определяется оно так:

Определим выигрыш -го игрока, который он может обеспечить себе независимо от действий другого игрока.

Несложно доказать, что если игрок при своей стратегии обеспечивает себе какой-то выигрышпри любой чистой стратегии другого игрока, то этот игрок при этой стратегии обеспечивает себе выигрышпри любой смешанной стратегии другого игрока.

Поэтому для нахождения выигрыша -й игрок должен обеспечить себе этот выигрыш при любой чистой стратегии другого игрока.

Пусть – произвольная смешанная стратегия 1-го игрока, тогда в игре против-й чистой стратегии 2-го игрока средний выигрыш 1-го равен, поэтому для нахождениянадо решить следующую задачу максимизации:

,

для всякого ,

, все .

Найденная из этой задачи стратегия игрока называется его максиминной стратегией, а соответствующие выигрыши – максиминными выигрышами игроков. Ясно, что при любом исходе переговоров игроков друг с другом ни один из них не согласится получить меньше своего максиминного выигрыша. Это обстоятельство урезает множество Парето до меньшего множества, которое и называется переговорным: точка из множества Парето принадлежит переговорному множеству если и только если. На рис. переговорное множество есть ломаная NCM (для нахождения переговорного множества нужно знать не многоугольник ABCD, а матрицу выигрышей).

Отметим теперь, что при выборе точки – оптимальной стратегии, в переговорном множестве сотрудничество игроков кончается и их интересы становятся противоположными: 1-й тянет точку вправо, 2-й - вверх. Многие исследователи теории игр считают, что дальнейший анализ кооперативной игры, т.е. обоснование выбора точки – решения уже из переговорного множества, невозможен, ибо слишком большое значение приобретают трудноформализуемые факторы, возникающие в игре, например, различные психологические моменты.

2. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества.

Пусть игроки – Первый и Второй, играют в матричную игру с матрицей . Пусть стратегия Первого есть , а Второго –. Тогда выигрыш Первого есть случайная величина (с.в.)с рядом распределения:

			…				…
			…				…

Математическое ожидание этой с.в., т.е. есть средний выигрыш Первого. Пустьесть дисперсия этой с.в. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в., т.е. риском для Первого при игре со стратегиями . Поскольку выигрыш Первого есть проигрыш для Второго, тоесть случайный проигрыш Второго ивполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для Второго.

Предположим сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднего дохода за партию игры – обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями: -Первый и– Второй.

Математическое ожидание с. в. называется ценой игры, обозначим ее.