Организация выполнения курсовой работы

Студент выбирает номер курсовой работы по согласованию с преподавателем. Всего вариантов 37. Курсовая работа выполняется аккуратно на одной стороне листа стандартного формата А4. Графики строятся черными или цветными карандашами средней твердости на обычной или миллиметровой бумаге. Листы с текстом курсовой работы и графики должны быть сшиты.

Текст работы должен содержать все необходимые расчеты и пояс-нения. В курсовой работе обязательны оглавления и сквозная нумерация всех листов. При защите курсовой работы студент должен показать знание теоретического курса и умение математически ставить, решать и анализировать конкретные экономические задачи.

§.1. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

В нормальной экономике только инвестирование в реальный сектор экономики позволит нарастить капитал. Следовательно, менеджеры, финансисты должны иметь представление о производственных процессах и методах их оптимизации.

1. Линейная производственная задача.

Предприятие может выпускать видов продукции, используявидов ресурсов. Пусть– расход-го ресурса на единицу-й продукции,– имеющееся количество-го ресурса,– прибыль от реализации единицы-й продукции (удельная прибыль),– искомое количество единиц-й продукции. Задача состоит в том, чтобы найти производственную программу

максимизирующую прибыль

(1)

при ограничениях по ресурсам

для каждого (2)

где по смыслу задачи все (3)

Предположим, что исходные данные задачи представлены в виде

36	14	25	50
4	3	4	5	208
2	5	0	2	107
3	1	2	5	181

т.е. матрица А удельных затрат ресурсов, вектор В объемов ресурсов и век­тор С удельной прибыли имеют вид

; ; .

Математическая же модель задачи: найти производственную программу

максимизирующую прибыль

(4)

при ограничениях по ресурсам

(5)

где по смыслу задачи (6)

Получили задачу линейного программирования. Чтобы решить ее, заменяем неравенства системы (5) уравнениями при помощи до-полнительных неотрицательных неизвестных называемых балансовыми, оптимальные значения которых имеют экономический смысл остатков ресурсов. Получается каноническая задача ЛП: максимизировать линейную форму (4) при условиях

(7)

(8)

Будем решать эту задачу симплексным методом. Процесс решения приведен в таблице (↓). Студент должен уметь обосновывать каждый шаг этого процесса.

Прежде всего, из выражения максимизации прибыли видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию четвертого вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. Поэтому в системе принимаем переменную за разрешающую и преобразовываем эту систему к другому предпочитаемому виду. Для этого составляем отношения правых частей уравнений к соответствующим (только положительным!) коэффициентам при выбранной неизвестной и находим наименьшее

.

Оно соответствует третьему уравнению. Это означает, что за разре-шающее уравнение в системе (7) мы обязаны принять третье. Коэффициент будет разрешающим. Применив формулы исключения, переходим к новому предпочитаемому виду системы с соответствующим базисным допустимым решением. При этом неизвестнаястановится базисной. Придется ее исключить из целевой функции, чтобы иметь возможность исследовать новое базисное допустимое решение на оптимальность. Поэтому преобразовывают по формулам исключения вспомогательную систему уравнений, получаемую добавлением соотношения (4) к системе (7). Расширенную матрицу вспомогательной системы называют первой симплексной таблицей.

			36	14	25	50	0	0	0	Пояснения
С	Б	Н	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
000	X5 X6 X7 Z0-Z	208 107 181 0-Z	4 2 3 -36	3 5 1 -14	4 0 2 -25	5 2 5 -50	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 1 0
	X5 X6 X4 Z0-Z	27 173/5 181/5 1810-Z	1 4/5 3/5 -6	2 23/5 1/5 -4	2 -4/5 2/5 -5	0 0 1 0	1 0 0 0	0 1 0 0	-1 -2/5 1/5 10
	X1 X6 X4 Z0-Z	27 13 20 1972-Z	1 0 0 0	2 3 -1/5 8	2 -12/5 -4/5 7	0 0 1 0	1 -4/5 -3/5 6	0 1 0 0	-1 2/5 4/5 4

Подчеркнем, что за каждой симплексной таблицей студент должен видеть некоторую систему линейных алгебраических уравнений. Например, во второй симплексной таблице записана система уравнений

(9)

из которых первые три уравнения представляют другой предпочитаемый эквивалент системы (7) и определяют базисное допустимое решение

(10)

а из последнего уравнения получается выражение функции цели через но-вые свободные неизвестные

(11)

Из этого выражения видно, что решение (10) не является оптималь-ным и что прибыль будет расти наиболее быстро при увеличении количе-ства первой продукции. Поэтому в системе (9) принимаемза разре-шающую неизвестную, находим разрешающее уравнение и преобразовы-ваем эту систему. Результат записан в третьей симплексной таблице.

В последней строке третьей таблицы нет ни одного отрицательного оценочного коэффициента , т.е. выполняется критерий оптимальности для максимизируемой функции цели.

Производственная программа

(12)

является оптимальной и обеспечивает предприятию наибольшую возможную прибыль При этом первый и третий ресурсы будут использованы полностью а второй ресурс будет иметь остаток

Студенту рекомендуется по третьей симплексной таблице восстано-вить вспомогательную систему уравнений, записать общее решение систе-мы условий, выразить функцию цели через новые свободные неизвестные и убедиться, что решение (12) действительно является оптимальным.

2. Двойственная задача линейного программирования.

Перейдем к рассмотрению двойственной задачи. Мы хотим найти оценку единицы каждого вида ресурса. Это – задача линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

(1)

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ре-сурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции

(2)

причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными

(3)

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений ипары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий

Ранее было найдено, что в решении исходной задачи . По-этому

Если же учесть, что второй ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю то приходим к системе уравнения

откуда следует

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

(4)

причем общая оценка всех ресурсов равна 1972.

Заметим, что решение (4) содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Очень важен экономический смысл всех элементов этой строки. Например, двойственная оценка третье-го ресурса показывает, что добавление одной единицы третьего ре-сурса обеспечит прирост максимальной прибыли в 4 единицы, а оценка третьей технологиипоказывает, что если произвести одну единицу продукции третьего вида (она не входит в оптимальную производственную програм-му), то максимальная прибыль уменьшится на 7 единиц.

3. Задача о “Расшивке узких мест производства”

При выполнении оптимальной производственной программы первый и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют “узкие места производства”. Будем их заказывать дополнительно. Пусть - вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

Задача состоит в том, чтобы найти вектор

,

максимизирующий суммарный рост прибыли

(1)

при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы),

(2)

предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более первоначального объема ресурса каждого вида

(3)

причем по смыслу задачи

, (4)

Переписав неравенства (2) и (3) в виде:

(5)

; (6)

приходим к задаче ЛП: максимизировать (1) при условиях (5), (6) и (4).

Эту задачу легко решить графически: см. рис.. Программа “расшивки” имеет вид

, ,

и прирост прибыли составит .

4. Задача о комплектном плане.

Предположим, что в линейной производственной задаче продукция производится комплектно: 3-го вида продукции необходимо произвести в 3 раза больше, чем 1-го, а 4-го в 2 раза больше, чем 2-го вида продукции. Т.е. имеем соотношения иилии

Подставляя эти выражения ичерезив задачу из пункта 1.1., получим задачу ЛП с двумя переменными

Искомая точка В находится как решение системы

Максимальное значение целевой функции примерно равно 1798.

5. Оптимальное распределение инвестиций.

Эта задача решается с помощью динамического программирования.

Динамическое программирование – это вычислительный метод для решения задач управления определенной структуры. Данная задача представляется как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Знакомство с методом динамического программирования проще всего начать с рассмотрения нелинейной задачи распределения ресурсов между предприятиями одного производственного объединения или отрасли. Для определенности можно считать, что речь идет о распределении капитальных вложений (инвестиций).

Предположим, что указано пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделенорублей. Обозначим черезприрост мощности или прибыли на -м предприятии, если оно получит рублей капитальных вложений. Требуется найти такое распределениекапитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли при ограничении по общей сумме капитальных вложений причем будем считать, что все переменныепринимают только целые неотрицательные значенияилиилиили

Функции мы считаем заданными, заметив, что их определение – довольно трудоемкая экономическая задача.

Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Введем параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состоянияопределим как максимальную прибыль на первыхпредприятиях, если они вместе получаютрублей. Параметрможет изменяться отдо. Если изрублей-е предприятие получитрублей, то каково бы ни было это значение, остальныерублей естественно распределить между предприятиями от первого до-го так, чтобы была получена максимальная прибыль. Тогда прибыльпредприятий будет равна. Надо выбрать такое значениемеждуи, чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению

для . Если же, то(при условии, что функциявозрастающая).

Рассмотрим конкретный пример. Пусть производственное объединение состоит из четырех предприятий . Общая сумма капитальных вложений равна 700 тыс. рублей, выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей. Значения функцийприведены в таблице 1, где, например, число 88 означает, что если третье предприятие получит 600 тыс. руб. капитальных вложений, то прирост прибыли на этом предприятии составит 88 тыс. руб. Таблица 1.

	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	20	34	46	53	55	60	60
	0	18	29	45	62	78	90	98
	0	25	41	52	74	82	88	90
	0	30	52	76	90	104	116	125

Прежде всего, заполняем следующую таблицу 2. Значения складываем со значениями и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем и указываем соответствующее значение. Таблица 2.

		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	20	34	46	53	55	60	60
0	0	0	20	34	46	53	55	60	60
100	18	18	38	52	64	71	73	78
200	29	29	49	63	75	82	84
300	45	45	65	79	91	98
400	62	62	82	96	108
500	78	78	98	112
600	90	90	110
700	98	98

Заполняем таблицу 3. Таблица 3.

Ξ	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	20	38	52	65	82	98	112
	0	0	100	100	300	400	500	500

Продолжая процесс, табулируем функциии т.д. Таблица 4.

		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	20	38	52	65	82	98	112
0	0	0	20	38	52	65	82	98	112
100	25	25	45	63	77	90	107	123
200	41	41	61	79	93	106	123
300	52	52	72	94	112	126
400	74	74	94	112	126
500	82	82	102	120
600	88	88	106
700	90	90

Таблица 5.

Ξ	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	25	45	63	79	94	112	126
	0	100	100	100	200	400	400	400

В табл. 6 заполняем только одну диагональ для значения . Таблица 6.

		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	25	45	63	79	94	112	126
0	0								126
100	30							142
200	52						146
300	76					155
400	90				153
500	104			149
600	116		141
700	125	125

Наибольшее число на этой диагонали: тыс. руб., причем четвертому предприятию должно быть выделенотыс. руб. На долю остальных трех предприятий остается 400 тыс. руб. Из таблицы 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделенотыс. руб. Продолжая обратный процесс, находимтыс. руб.

На долю первого предприятия остается тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям: Оно обеспечивает производственному объединению наибольший воз-можный прирост прибыли 155 тыс. руб.

Студенту рекомендуется проверить выполнение равенства .

§.2. АНАЛИЗ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ И ИНСТРУМЕНТОВ

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода – разности между конечной и начальной оценками.

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию).

Как оценить операцию с точки зрения ее доходности и риска? Существует несколько разных способов. В этом параграфе мы их и обсудим.

1. Принятие решений в условиях неопределенности.

Предположим, что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения) рассматривает несколько возможных решений . Положение неопределенно, понятно лишь, что наличествует какая-то из ситуаций . Если будет принято-e решение, а ситуация есть -я , то фирма, возглавляемая ЛПР, получит доход . Матрица называется матрицей последствий (возможных решений). Какое же решение нужно принять ЛПР? В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации предварительного характера. Они не обязательно будут приняты ЛПР. Многое будет зависеть, например, от его склонности к риску. Но как оценить риск в данной схеме?

Допустим, мы хотим оценить риск, который несет -e решение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Т.е. если ситуация есть -я , то было бы принято решение, дающее доход .

Значит, принимая -e решение мы рискуем получить не , а только , значит принятие -го решения в этом случае несет риск недобрать . Матрица называется матрицей рисков.

Пример 1. Пусть матрица последствий есть