Курсовики по прикладной математики / 21

1. Пользуясь таблицей случайных чисел, выписать данные для 30 предприятий по факторному и результативному признаку согласно варианту. Выполнить проверку на однородность и нормальность распределения по факторному признаку. Исключить резко выделяющиеся предприятия из массы первичной информации.

Данные по 30 предприятиям:

№ предприятия	Уровень механизации труда, % (x)	Процент выполнения норм выработки, % (y)
2	76,0	102,2
5	80,0	102,7
8	85,0	101,5
12	73,0	103,8
14	75,5	101,6
16	77,8	102,6
21	74,5	104,8
23	81,0	103,0
24	84,0	103,0
30	72,4	105,9
31	71,5	104,9
34	75,0	106,0
37	73,0	106,2
38	76,4	106,3
42	73,2	105,2
43	70,3	106,4
47	76,0	104,0
49	75,6	105,0
51	73,0	106,2
54	79,0	103,2
58	79,4	102,9
60	82,0	101,7
62	85,0	101,5
65	77,8	101,9
66	73,9	103,8
69	76,7	102,5
73	74,4	104,5
74	74,3	104,9
77	81,0	103,0
80	72,9	102,1

Уровень механизации труда, % (x)–факторный признак,

Процент выполнения норм выработки, % – результативный признак

Проверка первичной информации на однородность производится с помощью коэффициента вариации. На практике считается, что если этот коэффициент менее 40%, то совокупность однородная.

Составим таблицу для вычисления средней арифметической и среднего квадратического отклонения:

№ предприятия	x	_ (xi-x) 2
43	70,3	40,36
31	71,5	26,56
30	72,4	18,09
80	72,9	14,09
12	73,0	13,35
37	73,0	13,35
51	73,0	13,35
42	73,2	11,93
66	73,9	7,58
74	74,3	5,54
73	74,4	5,08
21	74,5	4,64
34	75,0	2,73
14	75,5	1,33
49	75,6	1,11
2	76,0	0,43
47	76,0	0,43
38	76,4	0,06
69	76,7	0,00
16	77,8	1,31
65	77,8	1,31
54	79,0	5,51
58	79,4	7,54
5	80,0	11,20
23	81,0	18,89
77	81,0	18,89
60	82,0	28,59
24	84,0	53,97
8	85,0	69,67
62	85,0	69,67
Сумма	2299,6	466,55

Рассчитаем коэффициент вариации:

- средняя арифметическая,

- среднее квадратическое отклонение,

=3,94/76,9*100%=5,1 %. < 40%, исходный массив данных по факторному признаку можно считать однородным.

Исключение из массива первичной информации всех резко выделяющихся единиц по уровню факторного признака производится по правилу "трех сигм": исключаются все единицы, у которых уровень признака-фактора не попадает в интервал:

, где

Интервал для значения факторного признака (Уровень механизации труда):

76,9-3*3,94 x_i  76,9+3*3,94 или 64,82  x_i  88,48

Для первичных данных этот интервал: 64,82 – 88,48. В интервал попадают значения факторного признака всех предприятий, т.е. исключать предприятия не требуется.

2. Получив однородный массив, выполнить группировку, характеризующую зависимость результативного признака от факторного. Построить ряд распределения с равными интервалами по х, рассчитав величину интервала и число групп по формуле Стерджесса. Определить показатели центра распределения, показатели вариации, асимметрии и эксцесса. Сформулировать выводы.

При построении интервального вариационного ряда число групп определяется по формуле Стерджесса:

m = 1+3,322*lgn

n - общее число единиц совокупности, в n=30 (по условию задания)

m= 1+ 3,322*lg30= 5

Величина интервала определяется по формуле:

i = R/m

R= x_max- x_min - размах колебания (варьирования) признака.

R=85-70,3=14,7 %.

i = 14,7 /5= 2,94

Уровень механизации труда, % (x)	Число предприятий, частота интервала, f	Накопленные частоты	Середина интервала, _ xi, %.	_ xi fi, %.
70,3-73,24	8	8	71,77	574,16
73,24-76,18	9	17	74,71	672,39
76,18-79,12	5	22	77,65	388,25
79,12-82,06	5	27	80,59	402,95
82,06-85,00	3	30	83,53	250,59
Итого	30			2288,34

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду применяются: средняя арифметическая, медиана, мода.

Средняя арифметическая для интервального ряда распределения средняя арифметическая определяется по формуле:

_ _

x = (x_i*f) /f,

_

где x_i - середина соответствующего интервала значения признака.

_

x =2288,34/30 = 76,28 %.

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака. В интервальном ряду определяется модальный интервал (имеет наибольшую частоту). Значение моды определяется по формуле:

f_Mо - f_{(Мо - 1)}

Мо = x_Mо + i*

(f_Mо - f_{(Мо - 1)} ) + (f_Mо - f_{(Мо + 1)} )

x_Mо - нижняя граница модального интервала,

f_Mо - частота модального интервала,

f_{(Мо - 1)} - частота интервала, предшествующего модальному,

f_{(Мо + 1)} - частота интервала, следующего за модальным.

Модальный интервал – второй (73,24-76,18), т.к. он имеет наибольшую частоту (9).

Мо = 73,24+2,94*(9-8)/(9-8+9-5) = 73,83 %

Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:

N_Me = (n + 1)/ 2

n - число единиц совокупности.

N_Me = (30+1)/2 = 15,5

Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частостей превысит половину общего числа наблюдений, т.е. 15. Численное значение медианы определяется по формуле:

N_Me - S_(-1)

Ме = x_Me + i*

f_Me

x_Me - нижняя граница медианного интервала,

S_(-1) - накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

i - величина интервала,

f_Me - частота медианного интервала.

Медианный интервал – второй (73,24-76,18), т.к. это первый интервал, в котором величина накопленных частот больше 15.

Ме = 73,24+2,94*(15,5-8)/9 = 75,69 %

Для характеристики размера вариаций признака используются

а) абсолютные показатели:

1) размах колебаний R= x_max- x_min

x_max и x_min - максимальное и минимальное значение признака.

R = 86-70,7=15,3 %.

2) среднее линейное отклонение:

_ _

d = |x _i - x|*f / f,

2. среднее квадратическое отклонение и дисперсия:

______________

   (x - x)²*f / f и  ²  (x - x)²*f / f

Составим таблицу для расчета этих показателей:

Уровень механизации труда, %	Число предприятий, f	Середина интервала, _ xi %	_ _ |xi - x|* fi, %	_ _ (xi - x)2	_ _ (xi - x)2 * fi
70,3-73,24	8	71,77	36,1	4,51	20,32
73,24-76,18	9	74,71	14,1	1,57	2,46
76,18-79,12	5	77,65	6,9	1,37	1,88
79,12-82,06	5	80,59	21,6	4,31	18,59
82,06-85,00	3	83,53	21,8	7,25	52,59
Итого	30		100,4		95,85

d =100,4/30=3,35 %

 ² 95,85/30 =14,83   3,85 %

б) относительные показатели, наиболее часто из которых используется коэффициент вариации: если он не превышает 40%, то совокупность считается однородной.

_

(/ x )* 100%.

3,85/76,28*100%=5%

Симметричным является распределение, в котором частоты двух любых вариантов, равноотстоящих по обе стороны от центра распределения, равны между собой.

Рассчитаем относительный показатель асимметрии:

Он принимает положительное значение, это говорит о правосторонней асимметрии. Т.е. на графике распределения правая ветвь относительно максимальной ординаты вытянута больше, чем левая.

Средняя квадратическая ошибка показателя As:

Асимметрия существенна, т.к. выполняется неравенство:

>3

Рассчитаем показатель эксцесса (островершинности распределения):

Составим таблицу для расчета показателя эксцесса:

Уровень механизации труда, %	Число предприятий, f	Середина интервала, _ xi %	_ _ (xi - x)4 * fi
70,3-73,24	8	71,77	3303,89
73,24-76,18	9	74,71	54,40
76,18-79,12	5	77,65	17,72
79,12-82,06	5	80,59	1728,56
82,06-85,00	3	83,53	8297,60
Итого	30		13402,17

Ех = (13402,17/30)/ 4,92⁴ – 3 = -0,968

Т.к. величина эксцесса отрицательна, то распределение плосковершинное.

Рассчитаем среднеквадратическую ошибку эксцесса:

>3, следовательно эксцесс свойствен распределению признака в генеральной совокупности.

Вывод:

произведя группировку 30-и предприятий по признаку удельному весу технико-обоснованных норм, мы получили 5 групп предприятий. Среднее значение уровня механизации труда по этим предприятиям составляет 76,28 %, а индивидуальные значения изменяются от 70,3 % до 85,0 % Наиболее часто встречающееся значение уровня механизации труда (мода) – 73,83 %. Варианту, стоящему в середине ранжированного ряда соответствует значение 75,69 % (медиана). Размах вариации составляет 15,3 % В среднем каждое значение признака отклоняется от среднего значения по группе на 3,35 (по среднему линейному отклонению), на 3,85 по среднему квадратическому отклонению.

Совокупность данных можно считать однородной, т.к. коэффициент вариации принимает значение 5%. Распределение предприятий по факторному признаку имеет правостороннюю асимметрию, и она существенна.

Распределение предприятий по удельному весу технико-обоснованных норм является плосковершинным, т.к. показатель эксцесса принимает отрицательное значение.

3. Используя ранее выполненную группировку, проверить правило сложения дисперсий и сделать выводы о степени влияния факторного признака на величину результативного.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака (процента выполнения норм выработки) под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности данных. Она определяется по формуле:

№ предприятия	x	y	_ (yi-y) 2
8	85,0	101,5	5,2
62	85,0	101,5	5,2
14	75,5	101,6	4,7
60	82,0	101,7	4,3
65	77,8	101,9	3,5
80	72,9	102,1	2,8
2	76,0	102,2	2,5
69	76,7	102,5	1,6
16	77,8	102,6	1,4
5	80,0	102,7	1,2
58	79,4	102,9	0,8
23	81,0	103,0	0,6
24	84,0	103,0	0,6
77	81,0	103,0	0,6
54	79,0	103,2	0,3
12	73,0	103,8	0,0
66	73,9	103,8	0,0
47	76,0	104,0	0,0
73	74,4	104,5	0,5
21	74,5	104,8	1,0
31	71,5	104,9	1,3
74	74,3	104,9	1,3
49	75,6	105,0	1,5
42	73,2	105,2	2,0
30	72,4	105,9	4,5
34	75,0	106,0	4,9
37	73,0	106,2	5,9
51	73,0	106,2	5,9
38	76,4	106,3	6,4
43	70,3	106,4	6,9
Итого	2299,6	3113,3	77,43

_

y=3113,3/30=103,78 ² = 77,43/30=2,58

Вариация величины процента выполнения норм выработки под влиянием всех факторов, ее формирующих составляет 2,58.

Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию результативного признака (процента выполнения норм выработки), т.е. те различия, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки (Уровень механизации труда). Она определяется по формуле:

Сгруппируем предприятия по величине уровня механизации труда труда (группировка произведена в пункте 2):

Уровень механизации труда, %	Число предприятий, f	Значения процента выполнения норм выработки, %	yi, %	Процент выполнения норм выработки, _ yi, %	_ _ (уi -у)^2*f
70,3-73,24	8	106,4;104,; 105,9; 102,1; 103,8; 106,2; 106,2; 105,2;	840,7	105,1	13,746
73,24-76,18	9	103,8; 104,9; 104,5; 104,8; 106,0; 101,6; 105,0; 102,2; 104,0	936,8	104,1	0,877
76,18-79,12	5	106,3; 102,5; 101,9; 102,6; 103,2	516,5	103,3	1,136
79,12-82,06	5	102,9; 102,7; 103,0; 103,0; 101,7	513,3	102,7	6,235
82,06-85,00	3	103,0; 101,5; 101,5	306,0	102,0	9,470
Итого	30	-	3113,3		31,46