Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества

Теория игр: совокупность математических методов, анализа и оценки поведения в конфликтных ситуациях, когда сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующие различные, иногда противоположные цели. Противоречащие друг другу интересы наблюдаются в области экономики, военном деле, спорте, иногда противоречат интересы различных ступеней иерархии в СУ. Теория игр представляет собой математическую теорию конфликтных ситуаций. Ее цель-выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта. Рассмотрим матричную игру двух лиц с нулевой суммой. Задана матрица:

1 2 2 5

3 3 -4 -2

Участвуют 2 игрока. 1-ый выбирает номер строки, а 2-ой независимо от 1-го выбирает номер столбца. Если 1-ый загадал 2-ую строку, а второй – 3-ий столбец, то выигрыш второго составляет 4 рубля.

Для второго игрока 2-ый столбец является доминируемым по сравнению с 1-ым, т.к. в первом случае он проигрывает 1 рубль, а во втором проигрывает 2 рубля, и, при этом ,проигрывает 2 и 3 рубля соответственно, если 1-ый игрок выбирает 2-ую строку. Вычеркиваем его

1 2 2 5

3 3 -4 -2

Построим график, образованный пересечением следующих линий:

Так, как если второй игрок выберет свою первую стратегию, то он его выигрыш будет задан уравнением:

V₁=p+3*(1-p)=3-2р

То же для 3-ей и 4-ой стратегий

V₃=2p-4(1-p)=2p-4+4p=6р-4

V₄=5р-2(1-p)=7p-2

V4

V1

V3

Как видно из графика, идя по нижней границе, образуются две точки, мы выбираем верхнюю, образованную пересечением 2-х прямых (1 и 3). 4-ю следует исключить.

Получаем матрицу:

1 2

3 -4

И

IV

II

ли:

I

III

Найдем оптимальные стратегии игроков.

Пусть стратегия Первого есть (p₁,p₂), а Второго – (q₁,0,q3,0).

Обозначим: p₁=x, p₂=₁-x

q₁=y, q₃=1-y

Выразим математическое ожидание выигрыша первого игрока (цена игры):

M(P,Q)= xy+2x(1-y)+3y(1-x) -4(1-x)(1-y)= xy+2x-2xy+3y-3xy-4+4y+4x-4xy = -8xy+7y+6x-4

= -8y(x-7/8)+6(x-7/8)+10/8 = -8(x-7/8)(y-6/8)+10/8

Допустим, 1-ый игрок решил придерживаться P(x=7/8,1-x=1/8), тогда, как бы ни старался 2, не менял y выигрыш первого всегда (10/8). Представим, что первый отклонится от х=7/10, взяв х=6/8, тогда 2-ой игрок может взять y=5/8 и выигрыш первого будет лишь 9/8. Значит, оптимальная стратегия первого P^ (7/8,1/8), аналогично для второго Q^(6/8,0,2/8,0). При этом при достаточно большом числе игр проигрыш первого будет составлять в среднем 10/8 руб. за партию.

Цена игры ν=M(P^,Q^)= 7/8*6/8+2*7/8*2/8+3*6/8*1/8-4*1/8*2/8=80/64=5/4

Найдем дисперсию (риск):

1)Пусть игроки применяют свои оптимальные стратегии:

ν=M(P^,Q^)= 7/8*6/8+2*7/8*2/8+3*6/8*1/8-4*1/8*2/8=80/64=5/4

D(P^,Q^)=(-1)²*7/8*6/8+2²*7/8*2/8+3²*6/8*1/8+4²*1/8*2/8- (5/4) ² = =42/64+56/64+54/64+32/64- (5/4) ² =21/16

Риск r=D1,15

2)Пусть, 1-ый игрок применяет свою оптимальную стратегию P^(7/8,1/8), а 2-ой– 1-ую чистую стратегию Q1(1,0), тогда риск будет равен:

ν=M(P^,Q₁)= 1*7/8+3*1/8= 5/4

D(P^,Q₁)=1² *7/8+3²*1/8- 25/16=7/16

Риск r=D0,66

3)Пусть, 1-ый игрок применяет свою оптимальную стратегию P^(7/8,1/8), а 2-ой– 2-ую чистую стратегию Q2(0,1), тогда риск будет равен:

ν=M(P^,Q₂)= 2*7/8- 4*1/8=5/4

D(P^,Q₂)=2²*7/8+4²*1/8 – 25/16=63/16

Риск r=D1,98

4)Пусть, 2-ой игрок применяет свою оптимальную стратегию Q^(6/8,2/8), а 1-ый– 1-ую чистую стратегию P1(1,0), тогда риск будет равен:

ν=M(P₁,Q^)= 1*6/8+2*2/8= 5/4

D(P₁,Q^)= 1 ²*6/8 +2²*2/8 – 25/16=3/16

Риск r=D0,43

5)Пусть, 2-ой игрок применяет свою оптимальную стратегию Q^(6/8,2/8), а 1-ый– 2-ую чистую стратегию P2(0,1), тогда риск будет равен:

ν=M(P₂,Q^)= 3*6/8 – 4*2/8= 5/4

D(P₂,Q^)=3²*6/8+4²*2/8 – 25/16=147/16

Риск r=D3,03

Из всех возможных рисков наименьший будет, если 2-ой игрок применяет свою оптимальную стратегию Q^(6/8,2/8), а 1-ый– 1-ую чистую стратегию P1(1,0), тогда риск будет равен 0,43; цена игры ν=M(P₁,Q^)= 5/4.