Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений

Динамическое программирование - это вычислительный метод для решения задач управления определенной структуры. Данная задача с n переменными представляется как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Знакомство с методом динамического программирования проще всего начать с рассмотрения нелинейной задачи распределения ресурсов между предприятиями одного производственного объединения или отрасли. Для определенности можно считать, что речь идет о распределении капитальных вложений.

Предположим, что указано n пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделено b рублей. Обозначим через f_i(x_i) прирост мощности или прибыли на j-м предприятии, если оно получит x_i рублей капитальных вложений. Требуется найти такое распределение (x₁,x₂, ... , x_n) капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли

z = f₁(x₁) + f₂(х₂) + ... + f_n(x_n)

при ограничении по общей сумме капитальных вложений

x₁ + x₂ + ... + x_n = b

причем будем считать, что все переменные x_j принимают только целые неотрицательные значения

x_j = 0, или 1, или 2, или 3, ...

Функции f_j(x_j) мы считаем заданными, заметив, что их определение - довольно трудоемкая экономическая задача.

Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Производственное объединение состоит из четырех предприятий (n=4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 тыс. рублей (b=700), выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей. Значения функций f_j(x_j) приведены в таблице 1, где, например, число 92 означает, что если третье предприятие получит 400 тыс. руб. капитальных вложений, то прирост прибыли на этом предприятии составит 92 тыс. руб.

Таблица I

xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(x1)	0	5	8	10	12	13	14	15
f2(x2)	0	5	10	14	17	19	21	22
f3(x3)	0	8	13	18	21	23	25	27
f4(x4)	0	6	13	20	27	33	38	41

Прежде всего заполняем табл. 2. Значения f₂(x₂) складываем со значениями F₁( - x₂) = f₁(- x₂) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение . Заполняем таблицу 3.

Продолжая процесс, табулируем функции F₃(), () и т.д. В табл. 6 заполняем только одну диагональ для значения = 700. Наибольшее число на этой диагонали:

Z_max = 46 тыс. руб.,

но четвертому предприятию не может быть выделено

х^*₄ = ₄ (700) = 600 тыс. руб. или 500 тыс. руб. Можно только выделить 400 тыс. руб.

На долю остальных трех предприятий остается 300 тыс. руб. Из табл. 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено

x^*₃ = ₃ (700-x^*₄) = ₃ (300) = 100 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, находим

x*₂ = ₂ (700 - x*₄ - x*₃) = ₂ (200) = 100 тыс. руб.

На долю первого предприятия остается

x*₁ = 700 - x*₄ - x*₃ - x*₂ = 100 тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:

x*₁ =100; x*₂ =100; x*₃ = 100; x*₄ = 400.

Оно обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли 45 тыс. руб.

Рекомендуется проверить выполнение равенства

f₁(x*₁) + f₂(x*₂) + f₃(x*₃) + f₄(x*₄) = z _max

27+8+5+5=45

Таблица 2

	 - x2	0 100 200 300 400 500 600 700
x2	F1( - x2) f2(x2)	0 5 8 10 12 13 14 15
0	0	0 5* 8 10 12 13 14 15
100	5	5 10* 13 15 17 18 19
200	10	10 15* 18 20 22 23
300	14	14 19* 22* 24 26
400	17	17 22 25* 27*
500	19	19 24 27
600	21	21 26
700	22	22 .

Таблица 3

	0 100 200 300 400 500 600 700
F2()	0 5 10 15 19 22 25 27
()	0 0 100 200 300 300 400 400

Таблица 4

	 - x3	0 100 200 300 400 500 600 700
x3	F2( - x3) f3(x3)	0 5 10 15 19 22 25 27
0	0	0 5 10 15 19 22 25 27
100	8	8* 13* 18* 23* 27 30 33
200	13	13 18 23 28* 32 35
300	18	18 23 28 33* 37*
400	21	21 26 31 36
500	23	23 28 33
600	25	25 30
700	27	27

Таблица 5

	0 100 200 300 400 500 600 700
F3()	0 8 13 18 23 28 33 37
()	0 100 100 100 100 200 300 300

Таблица 6

	 - x4	0 100 200 300 400 500 600 700
x4	F3( - x4) f4(x4)	0 8 13 18 23 28 33 37
0	0	37
100	6	39
200	13	41
300	20	43
400	27	45
500	33	46*
600	38	46*
700	41	41 .