VIII . Транспортная задача.

1+а11	1+а12	1+а13	1+а14
1+а21	1+а22	1+а23	1+а24
1+а31	1+а32	1+а33	1+а34

За вектор объёмов производства примём вектор объёмов ресурсов:

(b1,b2,b3)

а за вектор объёмов потребления принять:

(с1,с2,с3,с4),

где

3 2 7 6

А = 1 4 1 5 – матрица транспортных издержек

4 3 5 1

140

b = 90 -- вектор объёма ресурсов

198

=(b₁+b₂+b₃) / (c₁ + c₂ + c₃ + c₄) = (198+90+140) / (27+39+18+20) = 4

с= (27*4; 39*4; 18*4; 20*4) -- вектор объёма потребления

с=(108; 156; 72; 80)

В нашей задаче 4 потребителя и 3 поставщика, причём суммарный объем поставок равный 428 превышает суммарный объем потребления равный 416. Поэтому для решения задачи ведём дополнительно ещё одного потребителя, с потреблением равным 12.

Имеем:

p\q	q1 = 3	q2 = 6	q3 = 2	q4 = 5	q5 = 0	--
p1 = 0	3 90	2 108	7 --	6 --	0 --	198
p2 = -2	1 18	4 --	1 72	5 --	0 --	90
p3 = 1	4 --	3 48	5 --	1 80	0 12	140
--	108	156	72	80	12

Для заполненных клеток p_i + q_j = C_ij

Проверка на оптимальность

Для незаполненных клеток _ij=p_i + q_j - c_ij

₁₃ = -4 ₁₄ = -6 ₁₅ = -1

₂₂ = -4 ₂₄ = -7 ₂₅ = -3

₃₁ = 0 ₃₃ = -1

Т.к. все _ij  0, то мы нашли оптимальное решение:

90 108 -- -- --

X_опт = 18 -- 72 -- --

-- 48 -- 80 12

R_min = 90*3 + 108*2+ 18 + 72 + 48*3 + 80 = 3840

Экономический смысл элементов таблицы.

Пример: p₂ = -2 – 2-й поставщик получает 2 денежные единицы за доставку 90 единиц продукции. q₂ = 2 - 2 денежные единицы платит второй потребитель за доставку ему 156 единиц продукции.

IX. Решение задачи распределения капвложений методом динамического программирования.

Динамическое программирование - это вычислительный метод для решения задач управления определённой структуры. Данная задача с n переменными представляется как много шаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Рассмотрим нелинейную задачу распределения ресурсов между предприятиями отрасли. Предположим, что указано n пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделено b рублей. Обозначим через f_j(x_j) прирост мощности или прибыли на j-том предприятии, если оно получит x_j рублей капвложений. Требуется найти такое распределение (х₁, х₂, ..., х_n) капвложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли

Z=f₁(x₁)+f₂(x₂)+...+f_n(x_n)

при ограничении по общей сумме капвложений

х₁ + х₂ +...+х_n = b

причём будем считать, что все переменные x_j принимают только целые значения x_j =1,2,...

Функции f_j(x_j) мы считаем заданными, заметив, что их определение -довольно трудоёмкая экономическая задача.

Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Введём параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния  примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состояния F_k() определим как максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получат  рублей. Параметр  может меняться от 0 до b. Если из  рублей k-ое предприятие получит Х_к рублей, то каково бы ни было это значение, остальные -Х_к рублей естественно распределить между предприятиями от 10-го до (к-1)-го предприятия, чтобы была получен максимальная прибыль F_k-1(-x_k). Тогда прибыль k предприятий будет равна f_k(x_k) + F_k-1(-x_k). Надо выбрать такое значение x_k между 0 и , чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению:

F_k() = max {f_k(x_k) + F_k-1(-x_k)}

0  X  

для k=2,3,....,n .Если же k=1 ,то

F₁()=f₁().

Рассмотрим конкретный пример. Пусть производственное объединение состоит из 4-х предприятий (k=4).Общая сумма капвложений равна 700 тыс. рублей (b=700) , выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей.

Значения функций f_j(x_j) приведены в табл. 1.

Прежде всего заполняем табл.3. Значения f₂(x₂) складываем со значениями F₁(-x₂)=f₁(-x₂) и на каждой побочной диагонали находим наибольшее число, которое помечаем звёздочкой. Заполняем табл .3.

Продолжая процесс табулируем функции F₃(), x₃() и т.д. В табл.6 заполняем только одну диагональ для значения =700.

Таблица 1.

Xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(xj)	0	15	26	38	45	52	58	63
f2(xj)	0	10	17	23	29	34	38	41
f3(xj)	0	11	19	26	30	33	35	36
f4(xj)	0	25	34	41	46	50	53	56

Таблица 2.

	-х2	0	100	200	300	400	500	600	700
х2		0	15	26	38	45	52	58	63
0	0	0	15	26	38	45	52	58	63
100	10	10	25	36	48	55	62	68	---
200	17	17	32	43	55	63	69	---	---
300	23	23	38	49	61	68	---	---	---
400	29	29	44	55	68	---	---	---	---
500	34	34	49	60	---	---	---	---	---
600	38	38	53	---	---	---	---	---	---
700	41	41	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 3.

	0	100	200	300	400	500	600	700
F2()	0	15	26	38	48	55	63	69
x2()	0	0	0	0	100	100	200	200
x2()	0	0	0	0	100	200	200	200

Таблица 4.

	-x3	0	100	200	300	400	500	600	700
x3		0	15	26	38	48	55	63	69
0	0	0*	15*	26*	38*	48	55	63	69
100	11	11	25	36	49*	59*	66	74*	---
200	19	19	34	45	57	67*	74*	---	---
300	26	26	41	52	64	74*	---	---	---
400	30	30	45	56	68	---	---	---	---
500	33	33	48	59	---	---	---	---	---
600	35	35	50	---	---	---	---	---	---
700	36	36	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 5.

	0	100	200	300	400	500	600	700
F3()	0	15	26	38	49	59	67	74
x3()	0	0	0	0	100	100	200	100
x3()	0	0	0	0	100	100	200	200
x3()	0	0	0	0	100	100	200	300

Таблица 6.

	-x4	0	100	200	300	400	500	600	700
x4		0	15	26	38	49	59	67	74
0	0	0	15	26	38	49	59	67	74
100	25	25						92
200	34	34					93*
300	41	41				90
400	46	46			84
500	50	50		76
600	53	53	68
700	56	56

Наибольшее число диагонали в табл.6 :

Z_max = 93 тыс. рублей

X4* = X(700) = 200

X3*+X2*+X1*=700–200=500

В табл.5:

где сумма равна 500

Х3* = 100

Х1*+Х2*=500-100=400

В табл.3.

где сумма равна 400

Х2*=100

Х1*=400-100=300

Оптимальная программа: 1) Х1*=300 ; Х2*=100 ;

Х3*=100 ; Х4*=200

Z_max(X1*;... X4*)=38+10+11+34=93 так как выполнилось равенство

Z_max(X1*;... X4*) = 101 эта программа оптимальна

Ответ: Оптимальная производственная программа имеет вид:

Х1* = 300 ; Х2* = 100 ; Х3* = 100 ; Х4* = 200 , при этом максимальная прибыль составляет 93 тыс. руб.