шпоры - 2 курс 2 семестр

16)Вектор-градиент, линия уровня, область допустимых решений в задаче ЛП. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

Графическим методом решаются задачи ЛП с 2-мя переменными. Процесс решения происходит в 2 этапа. На первом этапе строится множество допустимых решений задачи. Допустимое решение – любой в-р, удовлетворяющий всем решениям задачи. Если первый этап закончился успешно, ищется оптимальное решение, которое представляет собой допустимое решение с наибольшим в задаче на максимум и с наименьшим в задаче на минимум значением целевой функции. Рассмотрим I-ый этап. Каждое ограничение типа рав-ва задает на плоскости прямую, а каждое линейное ограничение типа нерав-ва – полуплоскость. Для того, чтобы нарисовать полуплоскость сначала рисуют прямую, являющуюся ее границей. Для этого нерав-во превращают в рав-во и получают уравнение границы.

Любая прямая однозначно задается любыми 2-мя точками, лежащими на ней. для того, чтобы найти такие точки одной из переменных придают произвольное значение, а значение другой переменной вычисляют из уравнения. Проще всего искать пересечение прямой с осями, при этом значение соответствующей переменной считается равной 0. После того, как граница полуплоскости построена надо выбрать одну полуплоскость из двух возможных. Для этого берется произвольная точка, не лежащая на границе полуплоскости. Лучше всего брать начало координат. Если координаты выбранной точки удовлетворяют нерав-ву, то выбирается полуплоскость, содержащая эту точку. Если же не удовлетворяют, то выбирается противоположная полуплоскость, не содержащая данной точки.

Множество допустимых решений – это пересечение всех прямых, соответствующих линейным ограничениям типа рав-ва и всех полуплоскостей, соответствующих ограничениям типа нерав-ва.

Если множ-во допустимых решений не пусто, то переходим ко II-му этапу. Выберем произвольное допустимое решение. Нарисуем из выбранного решения градиент целевой ф-ии. Для линейной функции градиент – это в-р, состоящий из коэффициентов этой ф-ии. Он показывает направление увеличения ф-ии. Через выбранное решение проводим линию уровня целевой ф-ии. Для линейной ф-ии линия уровня – это прямая, перпендикулярная градиенту. На линии уровня значение ф-ии постоянно.

В задаче на max двигаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента до последнего пересечения со множеством допустимых решений. В задаче на min линию уровня двигаем в направлении, противоположном направлению градиента. Возможны два случая: 1. последнее пересечение линии уровня со множ-вом доп. решений существует. Это пересечение и является множ-вом оптимальных решений. Для нахождения компонентов оптимальных решений составляем СЛАУ из уравнений границ, на пересечении которых лежит множ-во оптимальных решений, после чего решаем эту СЛАУ. 2. перемещать линию уровня во множ-ве доп. решений можно неограниченно. В этом случае оптимальных решений задача не имеет из-за неограниченности значений целевой ф-ии.

С геометрической точки зрения вершина многоугольника – это точка пересечения двух смежных его сторон, а вершина многогранника – точка пересечения трех смежных его граней. Сторонами (гранями) служили границы ограничений задачи.

Задача ЛП состоит в отыскании таких точек многоугольника решений, координаты которого обеспечивали бы линейной ф-ии минимальное или максимальное значение. С геометрической точки зрения вершина многоугольника – это точка пересечения двух смежных его сторон, а вершина многогранника – точка пересечения трех смежных его граней. Сторонами (гранями) служили границы ограничений задачи.

24)Доказать, что в случае отсутствия вырождения в задаче линейного программирования на нахождение минимума линейной функции преобразования по симплекс-методу приводят к конечной последовательности монотонно убывающих значений линейной функции.

В частном случае общей задачи ЛП система уравнений имеет предпочитаемый вид, при этом правые части всех уравнений неотрицательны.

Для того чтобы при последовательном исключении неизвестных для приведения СЛАУ к предпочитаемому виду или перехода от одного предпочитаемого вида к другому свободные члены всех уравнений системы оставались неотрицательными, необходимо руководствоваться следующими правилами выбора разрешающей неизвестной и разрешающего уравнения.

В качестве разрешающей неизвестной можно принять любую неизвестную, при которой есть хоть один положительный коэффициент, а затем в качества разрешающего уравнения следует взять то уравнение, которое соответствует наименьшему среди отношений свободных членов уравнений к соответствующим положительным коэффициентам при выбранной неизвестной в этих уравнениях. СЛАУ подвергается симплексным преобразованиям, если процесс исключения неизвестных осуществляется в соответствии с указанными правилами выбора разрешающей неизвестной и разрешающего уравнения.

Может случиться, что указанное минимальное отношение достигается при нескольких значениях индекса i. Тогда любое из соответствующих им уравнений можно принять за разрешающее. Принято говорить в этом случае, что рассматриваемая СЛАУ является вырожденной. Вырожденной СЛАУ называют такую систему, у которой в какой-либо предпочитаемой форме хотя бы один свободный член ранен нулю.

Остается заметить, что СЛАУ не будет иметь ни одного неотрицательного решения, если в процессе симплексных преобразований в ней появится уравнение, в котором свободный член строго положителен, а среди коэффициентов при неизвестных нет ни одного положительного.

Если в процессе решения задачи ЛП симплекс-методом найдется хотя бы одна свободная неизвестная x_j такая, что ∆_j>0, а коэффициенты , то задача будет неразрешимой в силу неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений.

22)Сформулировать и доказать критерий оптимальности решения задачи линейного программирования при отыскании минимума линейной функции симплексным методом. В частном случае общей задачи ЛП система уравнений имеет предпочитаемый вид, при этом правые части всех уравнений неотрицательны.

Допустим необходимо минимизировать целевую функцию L=c₁x₁+c₂x₂+...c_nx_n (1), при условиях:

x₁ + g_1,m+1x_m+1 + ... + g_1nx_n = h₁,

x₂ + g_2,m+1 x_m+1 + ... + g_2nx_n = h₂, (2)

... ... ... ...

x_m + g_m,m+1 x_m+1 + ... + g_mnx_n = h_m

и x_j≥0, j = 1,2,...n (3).

Для решения такой задачи применяется симплексный метод линейного программирования.

Одним из допустимых решений задачи ЛП будет базисное неотрицательное решение системы (2): x₁=h₁, x₂=h₂,...x_m=h_m, x_m+1=0,...x_n=0 (4), ему соответствует значение целевой ф-ии равное:

L₀=c₁h₁+c₂h₂+...c_mh_m+c_m+1*0+...+c_n*0 = c_i h_i (5).

Надо исследовать, является ли базисное неотрицательное решение (4) оптимальным,т.е. является ли значение (5) наименьшим из всех возможных значений целевой ф-ии (1), отвечающих различным неотрицательным решениям системы (2).

Учитывая, что система уравнений (2) имеет предпочитаемый вид, находим для нее общее решение: x_i=h_i-g_i,m+1x_m+1-...-g_inx_n, i=1,2,...,m (6). Если свободным неизвестным придавать какие-нибудь неотрицательные значения, то будем получать различные решения системы (2), среди которых нас интересуют только неотрицательные. Подставляя их компоненты в линейную форму (1), можно подсчитать соответствующие значения целевой функции. Очевидно, чтобы легче было следить за поведением целевой функции, целесообразно выразить ее только через свободные неизвестные.

Если переписать выражение (1) в виде:

- L+c₁x₁+c₂x₂+...c_mx_m+ c_m+1x_m+1+...+c_nx_n=0 (7). Для того чтобы исключить базисные неизвестные из этого уравнения, достаточно умножить первое уравнение системы (2) на c₁, второе на c₂ и т.д., сложить полученные произведения и из результата вычесть уравнение (7). Получим L+∆_m+1x_m+1+...+∆_nx_n=L₀ (8), где ∆_j = c₁g_1j + c₂g_2j + ... + c_mg_mj - c_j , j=1,2,...n (9) или ∆_j = z_j - c_j, z_j=c_ig_ij, j=1,2,...n (9a).

Из выражения следует, что базисное решение x₁=h₁, x₂=h₂,...x_m=h_m, x_m+1=0,...x_n=0 (2) является оптимальным решением задачи ЛП

Базисное решение является оптимальным решением задачи ЛП тогда и только тогда, когда в уравнении среди коэффициентов при неизвестных нет ни одного положительного, т. е. условие оптимальности имеет вид ∆j≤0 , j=1,2,…,n.

Если же хотя бы один из коэффициентов при свободных неизвестных равен нулю, то будут и небазисные оптимальные решения. Очевидно, оптимальных решений будет еще больше, если среди коэффициентов при свободных неизвестных в уравнении (8) окажется несколько нулевых.