2)Нахождение абсолютной ошибки отдельного измерения |δ dn|.

Δ d|₁=|42,9-43.6|=0,7

|Δ d|₂=|42,9-40,2|=2,7

|Δ d|₃=|42,9-42,|=0,6

|Δ d|₄=|42,9-43,8|=0,9

|Δ d|₅=|42,9-43,1|=0,2

|Δ d|₆=|42,9-43,4|=0,5

|Δ d|₇=|42,9-43,9|=1

3) Нахождение среднего арифметического абсолютной ошибки отдельного измерения |Δ d_ср. |.

|Δ d_ср. | =(0,7+2,7+0,6+0,9+0,2+0,5+1)/7=0,9 мм.

4) Нахождение полной ошибки |Δ d|.

|Δ d|=√|Δ d_ср. |² + δ²=√0,81+0,01=0,905

5) Нахождение относительной ошибки E_d.

0,9 -E_d

d_ср.(42,9мм.) –100%

E_d=(100%*0,9)/42,9==2%

Определение площади круга.

1)Нахождение средней площади.

S= (π*d_ср.²)/4

S= (3,1416*42,9²)/4=1445,4 мм².

2)Нахождение относительной ошибки E_S.

E_S= E_d+ E_d

E_S=4%

Δδ=( S_.* E_S )/100%

Δ

Площадь круга.

S = (1445,5±57,8) мм.

E_S=4%

δ=(1445,5*4%)/100%=

=57,8

1. Механические колебания

 

            Многообразные движения тел в окружающем нас мире можно разделить на два класса в зависимости от того, остается ли тело в процессе движения вблизи некоторого среднего положения или такого положения нет. Мы обратимся к первому классу. Отличительной чертой многих движений рассматри­ваемого класса является их периодичность, т. е. повторяемость через определенные интервалы времени.

Движения, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые промежутки времени, на­зываются механическими колебаниями.

Колебания бывают разные. Одни колебания, как, например, в швейной машине, способны со­вершаться только тогда, когда на тело действуют периодически из­меняющиеся внешние силы, которые и вынуждают тело совершать колебательное движение. Такие колебания называют вынужденны­ми. Другие же колебания обусловлены действием внутренних сил и потому способны происходить сами по себе. Таковы, например, колебания грузика на пружине, возникающие после того, как грузик сместили из положения равновесия и отпустили.

Колебания, происходящие под действием внут­ренних сил и возникающие в системе после того, как система была выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе, называются свободными.

            К свободным колебаниям относятся: колебания груза на пружине, а также груза на нити (маятника).

Отличительной особенностью систем, в которых происходят сво­бодные колебания, является наличие у них положения устойчивого равновесия. Именно около этих положений и совершаются свободные колебания.

Для того чтобы в той или иной системе возникли свободные ко­лебания, необходимо выполнение следующих условий:

1.   Системе должна быть сообщена избыточная энергия. Эту энергию можно сообщить системе либо в виде потенциальной энергии, либо в виде кинетической энергии, либо в виде и той и другой.

2.   Избыточная энергия, сообщенная системе, не должна в про­цессе возникшего движения полностью тратиться на преодоление трения.

Эти два условия являются необходимыми, но не достаточными для существования свободных колебаний. Система, помимо этого, должна обладать еще некоторыми определенными свойствами, ко­торые могут послужить причиной возникновения в системе коле­баний.

Основные кинематические ха­рактеристики колебаний:

1)  амплитуда колебаний (А)— это максимальное расстояние, на ко­торое удаляется колеблющееся тело от своего положения равновесия. Амплитуда свободных колебаний определяется начальными усло­виями, измеряется амплитуда в метрах;

2)  период колебания(Т)— это минимальный промежуток времени, по истечении которого система возвращается в прежнее состояние;   иначе   говоря,период колебания— это время, за которое совершается одно полное ко­лебание;

3)  частота колебаний (υ)— это число колебаний, совершаемых за 1 с, измеряется в герцах (Гц);

4)      циклическая частота (w)— это величина, в 2π  раз большая час­тоты.

Физический смысл циклической частоты заключается в том, что она показывает, какое число колебаний совершается за 2π секунд.  Измеряется циклическая частота в , или с^-1.

Для периода, частоты и циклической частоты справедлива формулы:

; ; ,

 

где п — число колебаний,  а t — время, за которое произошло п колебаний.

В процессе свободных колебаний положение колеблющегося тела непрерывно изменяется. Если трение настолько мало, что им можно пренебречь, то графиком зависимости координаты колеблющегося тела (материальной точки) от времени является синусоидальная кри­вая, или, кратко, синусоида.

График зависимости координаты колеблющегося тела от времени называют графиком колебаний. По графику колебаний легко определяются все кинематические характеристики колебательного движения.

Колебания, при которых координата колеб­лющегося тела меняется с течением времени по закону си­нуса (или косинуса), называются гармоническими.

            Если момент начала отсчета времени колебаний совпадает с моментом максимального отклонения маятника от положения равновесия, уравнение колебаний будет:

или ,

т. е. колебания будут синусоидальными и происходить без начальной фазы α₀.х– смещение маятника.

            Если момент начала отсчета времени колебаний не совпадает ни с моментом максимального отклонения от положения равновесия, ни с моментом прохождения им положения равновесия, то колебания происходят с начальной фазой и уравнение таких колебаний имеет вид:

или .

            Фаза колебаний α – это величина, которая позволяет определить, какая доля периода прошла с момента начала колебаний и наиболее полно характеризует колебательный процесс:

.

 

Задачи механических колебаний можно условно разделить на четыре группы: задачи на уравнения гармонических колебаний, задачи о колебаниях пружинного маятника, задачи о колебаниях математического маятника и задачи о колебаниях физического маятника - маятника произвольной формы, к колебаниям кото­рого нельзя применять формулы, применимые к колебаниям пру­жинного или математического маятников.

 

Пружинный маятник.

 Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикреп­ленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вер­тикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).

,

где а_х – ускорение, т - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пру­жинного маятника.

Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.

 

 

Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости об­ращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.

            Выражение для циклической частоты имеет вид:

,

где  w - циклическая частота,  k - жесткость пружины,  т - масса.

Эта  формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собст­венными характеристиками самой колебательной системы — в дан­ном случае жесткостью k и массой т.

Это выражение определяет период свободных колебаний пру­жинного маятника.