Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова. Кафедра физики

Концепции современного естествознания (Материалы для самостоятельной работы студентов)

Семинары: Тема 4. Колебания и волны (с. 31 – 32)

Колебания и волны в виде различного рода локализованных и распространяющихся в пространстве периодических (циклических) процессов и явлений в различных колебательных системах часто встречаются в природе и широко применяются в науке и технике, напр., колебания маятников, упругие колебания и волны в различных средах, электромагнитные волны, переменный ток, волны на поверхности воды, биения сердца, биоритмы, приливы и отливы, вибрации машин, пульсации звезд, колебания психических состояний, циклические процессы в экономике и т. д. Они тесно связаны с вращательнымдвижением (всякое вращение можно представить как два одновременных колебания во взаимно перпендикулярных направлениях) и могут быть единообразно описаны с помощью идеальных математических уравнений.

Основные характеристики колебаний и волн:

Период колебаний – время Т, в течение которого происходит одно полное колебание и колебательная система возвращается в исходное состояние.

Частота колебаний – величина, обратная периоду колебаний ( = 1/Т), в СИ измеряется в герцах (1 Гц = с^-1).

Круговая (циклическая) частота  = 2, в СИ измеряется в рад/c или с^-1.

Амплитуда колебаний – максимальное отклонение колебательной системы (или соответствующей физической величины) от состояния равновесия, измеряется в различных единицах (по расстоянию, углу отклонения и др.). Полная энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды.

Гармонические колебания – идеальные незатухающие колебания (с постоянной амплитудой A), для которых отклонение x тела от положения равновесия в зависимости от времени определяется гармоническими функциями (синусом или косинусом): x(t) = Asin(t + ₀), где выражение t + ₀ называется фазой колебаний (₀ – начальная фаза при t = 0). В СИ фаза измеряется в радианах или считается безразмерной величиной.

Реальные колебания со сложной зависимостью от времени могут быть представлены как суперпозиция гармонических колебаний различных амплитуд, которые без подвода энергии с течением времени уменьшаются. В идеальном случае такие затухающие колебания могут быть представлены выражением x(t) = A₀exp(–t)sin(t + ₀), где  – коэффициент затухания колебаний. Величина d = 2/называется декрементом затухания (употребляют также логарифмический декремент lnd).

В физике различают собственные колебания (которые колебательная система может совершать без вмешательства извне) и вынужденные колебания, совершаемые системой под действием периодической внешней силы.

Резонанс – увеличение амплитуды вынужденных колебаний, когда частота вынуждающей силы равна (близка) к частоте собственных колебаний системы (таких собственных частот может быть несколько). Характер и степень увеличения амплитуды («острота» резонансной кривой) зависит от добротности колебательной системы.

Добротность колебательной системы Q – способность системы сохранять собственные колебания достаточно долго. Для слабозатухающих колебаний Q = /2 = /d >> 1.

Волны – это колебания, которые распространяются в пространстве (бегущие волны) или каким-то образом распределены в объеме колебательной системы (стоячие волны). Для стоячих волн характерно наличие в колебательной системе областей (точек), где колебания не происходят (узлы), и областей, где амплитуда колебаний максимальна (пучности). Примеры стоячих волн – колебания струн и воздуха в резонаторах музыкальных инструментов.

Длина волны  – расстояние, которое проходит волновое возмущение (волна) за период колебаний, или кратчайшее расстояние между точками волнового поля, которые колеблются в одинаковой фазе.

Для бегущей плоской монохроматической (одноцветной) гармонической волны, которая распространяется в положительном направлении оси x, волновое возмущение в данной точке x в данный момент времени t определяется формулой: x(t) = Asin(t – kx + ₀), где k – волновое число, равное 2/, представляет собой модуль волнового вектора k, направленного в сторону распространения волны. Следует отметить, что таких идеальных волн в природе не существует. Реальные волны ограничены в пространстве и во времени и имеют «разброс» по частоте  (соответственно по длинам волн).

Продольные волны – те, у которых колебания происходят в направлении распространения волны (напр., звуковые волны в газах и жидкостях).

Поперечные волны – те, у которых колебания происходят в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны (напр., электромагнитные волны в пустоте, воздухе).

Интерференция волн – периодическое распределение в пространстве и во времени энергии (интенсивности) волнового возмущения, возникающее при наложении двух или более когерентных волн (согласованных по фазе). Напр., стоячие волны в резонаторе есть результат интерференции волн при их отражении от стенок резонатора.

Дифракция волн – огибание волной небольших препятствий, что можно рассматривать, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, также как интерференцию очень большого числа когерентных волн.

Поляризация волны – выделенное в пространстве направление вектора волнового возмущения при распространении волны. Различают, напр., плоскополяризованную волну, у которой колебания происходят в одной плоскости, и волну с круговой поляризацией, у которой вектор волнового возмущения совершает движение по кругу.

Дисперсия волн – зависимость скорости распространения волны от длины волны. При отсутствии диспер-сии произведение частоты колебаний на длину волны (равное скорости распространения волны V = ), одинаково для всех длин волн данного типа (напр., электромагнитных волн в вакууме). Для света дисперсия выражается в зависимости от длины волны показателя преломления плотной прозрачной среды (напр., стекла), что дает возможность пространственно разделить волны сложного по составу белого света при прохождении через призму в цветную спектральную полосу (впервые это сделал в XVII в. И. Ньютон) и тем самым изучить спектр излучения.

Электромагнитные волны в отличие от упругих волн (напр., звука) при распространении в пространстве не нуждаются в наличии какой-либо материальной среды, т. е. могут распространяться и в вакууме в результате взаимного порождения друг другом переменных во времени электрических и магнитных полей. Скорость таких волн (скорость света с), согласно теории относительности, является максимальной скоростью любых взаимодействий (и информации) в природе. Для них  = с. Электромагнитные волны поперечны, т. е. векторы Е, В и k (в указанном порядке) образуют в пространстве правую тройку векторов. Изучение спектра излучения черного тела, закономерностей фотоэффекта и эффекта Комптона показало, что электромаг-нитные волны при определенных условиях (для очень больших частот и при малых интенсивностях) можно рассматривать и как поток особых частиц нулевой массы – квантов электромагнитного излучения, или фотонов (дуализм света).

Спектр – частотный состав сложного излучения, т. е. наличие в нем волн различных частот с известной интенсивностью; в широком смысле – совокупность всех значений какой-либо величины, характеризующей систему или процесс. Наблюдается и изучается с помощью спектральных приборов (напр., спектроскопов, спектрометров, дифракционных решеток и т. д.).

Для электромагнитного излучения различают линейчатый, полосатый и сплошной спектры. Линейчатый спектр характерен для излучения отдельных атомов в газах и представляет собой совокупность отдельных узких спектральных линий, полосатый – для излучения молекул, когда спектральные линии сливаются в более или менее широкие полосы. Сплошной спектр дает непрерывное распределение интенсивности излучения в зависимости от частоты или длины волны и характерен для излучения нагретых твердых и жидких тел. Особую роль в физике сыграло измерение и объяснение спектра излучения абсолютно черного тела, что положило начало развитию квантовой теории.

Абсолютное черное тело – тело, полностью поглощающее падающее на него излучение (без отражения и пропускания). В состоянии термодинамического равновесия с температурой Т такое тело само должно излучать, при этом сплошной спектр излучения характеризуется распределением Планка, имеющим максимум интенсивности при _m (по закону смещения Вина, _mТ = 2,9.10^-3 м.К) и спад интенсивности до нуля при больших и малых длин волн. Полная поверхностная плотность мощности излучения для абсолютно черного тела определяется законом Стефана-Больцмана:  = T⁴, где  = 5,67.10^-8 Вт/(м².К⁴).

Примеры решения задач.

Задача 4.1. Чему была бы равна длина L воображаемого математического маятника с периодом колебаний T = 1,5 часа (это время равно периоду обращения спутника Земли с первой космической скоростью)? Ускорение свободного падения g принять равным значению на поверхности Земли.

Решение и ответ. Из формулы для периода колебаний математического маятника (Т = 2(L/g)) получим L = g(T/2)². После подстановки числовых значений и вычислений L = 7,25.10⁶ м.

Примечание. Отметим, что формула для периода колебаний математического маятника (причина его колебаний – сила тяготения) соответствует формуле для периода обращения небесного тела вокруг центра притяжения на расстоянии L (напр., искусственного спутника Земли вокруг Земли или Земли вокруг Солнца), а также третьему закону Кеплера.

Задача 4.2. Учитывая, что спектр излучения Солнца соответствует спектру излучения абсолютно черного тела и максимум интенсивности излучения приходится на длину волны 500 нм (зеленые лучи), вычислить температуру поверхности Солнца и его полную мощность излучения (радиус Солнца в 109 раз больше радиуса Земли).

Решение и ответ. 1) По закону смещения Вина, температура поверхности Солнца равна Т = 2,9.10^-3/5.10^-7 =

5800 К. 2) По закону Стефана-Больцмана полная мощность излучения Солнца равна Р = T⁴S = 4T⁴R², где S и R – соответственно площадь поверхности и радиус Солнца. Подставляя числовые значения, находим Р = 3,8.10²⁶ Вт.

***