Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова. Кафедра физики

Концепции современного естествознания (Материалы для самостоятельной работы студентов)

Семинары: Тема 1. Масштабы природы. Обработка результатов измерений (с. 25 – 26)

Миры естествознания: В современном естествознании вся наблюдаемая и охватываемая физическими теориями природа условно делится на три мира: мегамир (Метагалактика, многочисленные галактики, звезды с их планетными системами, другие космические объекты и системы, в широком смысле весь мир за пределами Земли); макромир (макросистемы, состоящие из огромного числа микрообъектов – атомов и молекул, в том числе системы, непосредственно доступные органам чувств человека, а также объекты, наблюдаемые с помощью микроскопов – клетки, микроорганизмы и т. п.; сам человек представляет собой сложнейшую макросистему) и микромир (простые молекулы, атомы, атомные ядра, субатомные и элементарные частицы).

Свойства, поведение и взаимодействие макросистем адекватно описывается классической физикой(классической механикой, электродинамикой, термодинамикой, статистической физикой), тогда как свойства и поведение микрообъектов можно понять только с помощьюквантовой теории(квантовой механики, квантовой статистики и квантовой теории поля). Современнаякосмология, которая изучаетнашу Вселенную(Метагалактику) в целом, базируется на общей теории относительности, теории элементарных частиц и квантовой теории вакуума (объединяемых вкосмомикрофизику).

Масштабы природных объектов и систем в порядке убывания их размеров (в метрах) представлены ниже

(указаны с точностью до порядка величины, т. е. только показатели степени 10).

Космические объекты и системы.

Радиус космологического горизонта («радиус» Метагалактики, определяемый как произведение скорости света в вакууме на «возраст» Метагалактики) – 10²⁶ .

Скопления и сверхскопления галактик – (10²³ – 10²⁴).

Диаметр нашей Галактики – 10²¹ .

Диаметры скоплений звезд – (10¹⁷ – 10¹⁹).

Расстояние от Солнца до ближайших звезд – 10¹⁶ .

Диаметр Солнечной системы (до орбиты Плутона) – 10¹² .

Среднее расстояние от Земли до Солнца – 10¹¹ .

Диаметр Солнца – 10⁹ .

Диаметр белого карлика – 10⁷ .

Диаметр нейтронной звезды (пульсара) – 10⁴ .

Земные макросистемы.

Диаметр Земли – 10⁷ .

Средние размеры человека – 10⁰ .

Минимальные размеры эукариотных клеток живых организмов – 10^-5 .

Размеры бактерий – 10^-6 .

Толщина нити молекулы ДНК – 10^-9 (максимальная длина до 10^-2).

Микрообъекты.

Диаметры атомов – (10^-10 – 10^-8).

Комптоновская длина волны (минимальная квантовая «размытость») электрона – 10^-12 .

Диаметры атомных ядер – (10^-15 – 10^-14).

Комптоновская длина волны протона, также радиус действия ядерных сил – 10^-15 .

Радиус действия сил слабого взаимодействия – 10^-18 .

Размер ячейки «пены пространства-времени» (планковская длина) – 10^-35 .

Приведенные значения показывают огромные масштабы нашей Вселенной (верхних пределов ее мы не знаем, а радиус космологического горизонта больше планковской длины в 10⁶¹раз!) и великое разнообразие существующих природных систем, что обусловлено большим количеством образовавшегося вещества при рождении нашей Вселенной и ее длительной эволюцией при последующем расширении.

Обработка результатов измерений.

Измерения– основной источник научных знаний об окружающем мире. Поскольку любое измерение не является абсолютно точным, задача измерений заключается не только в том, чтобы получить «истинный» результат, но оценитьпогрешность(ошибку) измерений. По своему происхождению погрешности делят наприборные(инструментальные) иметодические, по характеру проявления – насистематическиеислучайные, по отношению к истинному результату – наабсолютныеиотносительные. Приборные ошибки можно уменьшить, используя более точный прибор (абсолютно точных приборов не существует). Систематические ошибки обычно связаны с неправильной методикой измерений или с плохой настройкой прибора и их в принципе можно почти исключить. Случайные ошибки (обычно небольшие) вызываются различными неизвестными причинами, поэтому, чтобы их уменьшить, необходимо проводитьмногократныеизмерения в одинаковых условиях. Приоднократномизмерении общая погрешность определяется только погрешностью прибора, а другие источники ошибок никак не учитываются (но они могут давать ошибку больше приборной). Поэтому в науке измерения проводятся, как правило, многократно, а систематические ошибки стараются по возможности исключить. Если многократные измерения дают одинаковый результат, общая погрешность определяется, как и в случае однократного измерения, только погрешностью прибора, т. е. тем минимальным показанием, отличным от нуля, который может дать данный прибор. Приборная ошибка указывается в паспорте прибора или на самом приборе.

При многократных прямыхизмерениях (когда прибор непосредственно показывает измеряемую величину) за «истинное» значение этой величины принимаетсясреднее арифметическоевсех полученных значений: <a> =a_i/N, гдеN– число измерений.

Затем вычисляются абсолютные погрешности каждого измерения:a_i=<a> –a_iисреднеквадратичная погрешность среднего значенияс учетомкоэффициента СтьюдентаS, которая при учете только случайных ошибок равнаполуширине доверительного интервала, т. е. того интервала значений измеренной величины, в пределах которого среднее значение совпадает с истинным с некоторой выбраннойвероятностьюP(иликоэффициентом доверия):_сл=S((a_i)²/N(N– 1)).

Полнаяабсолютная погрешность среднего значенияучитывает в общем случае среднюю случайную_сли приборную_прпогрешности:=(_сл²+_пр²). Если одна из этих погрешностей превышает другую больше, чем в 4 раза, то последнюю можно не учитывать.

Коэффициент Стьюдента зависит от коэффициента доверия Ри от числа измерений. При оценках погреш-ностей часто используется значениеР= 0,9. В таблице приведены значенияSкак функцияN приР= 0,9.

N	2	3	4	5	6	7	8	10	12	50	
S	6,31	2,92	2,35	2,13	2,02	1,94	1,89	1,83	1,80	1,68	1,65

После вычисления определяетсяотносительная погрешность среднего значенияЕ=/<a>. В окончательном результате (ответе) по стандартной форме величинаокругляется до одной (если старшая цифра больше 4) или двух значащих цифр, <a> – до младшего разрядаиЕ– до двух значащих цифр, при этомЕ обычно выражают в процентах.

При косвенныхизмерениях (когда результат получается путем вычислений по известной формуле по данным прямых измерений) вначале определяют относительную ошибку результата, а затем – абсолютную. Например, если определяемая величинаАсвязана с непосредственно измеренными величинамиВиСвыражениямиА=ВСилиВ/C, то относительная и абсолютная погрешностиАсоответственно равныЕ=В/В +С/CиА=ЕА; если жеА=ВС, тоА=В+Си Е=А/A.

При сравнении двух результатов измерений, т. е. при установлении их равенства или совпадения, когда указаны их полные абсолютные ошибки, следует иметь в виду: если модуль разности средних значений двух измеренных величин не превышает суммы их абсолютных ошибок, то величины считаются равными или они совпадают (в пределах ошибок измерений). В противном случае величины считаются неравными (не совпадают). Такое сравнение позволяет определить наличие систематической ошибки.

Примеры решения задач.

Задача 1.1.При измерениях периода колебаний маятника были получены следующие результаты:Т₁= 3,1 с;Т₂= 3,2 с;Т₃= 3,0 с;Т₄=3,5 с;Т₅= 3,3 с;Т₆= 3,2 с (приборная ошибка равна 0,1 с). Определить среднее значение периода, а также полную абсолютную погрешность (полуширину доверительного интервала с коэффициентом доверия 0,9) и относительную погрешность периода.

Решение. Вначале находим среднее значение периода <Т> = 3,217 с (округление промежуточного результата производим до четырех значащих цифр). Затем вычисляем абсолютные ошибки отдельных измерений:Т₁= 0,117 с;Т₂= 0,017 с;Т₃= 0,217 с;Т₄= 0,283 с;Т₅= 0,083 с;Т₆= 0,017 с. Далее находим среднеквадратичную ошибку с учетом коэффициента Стьюдента дляР= 0,9, т. е._сл= 0,142 с. Так как случайная погрешность сравнима с приборной, то полная абсолютная ошибка измерения периода равна= 0,174 с. Наконец, вычисляем относительную ошибку среднего значения периодаЕ= 5,4%.

Ответ.После округленияТ= (3,220,17) с;Е= 5,4%.

Задача 1.2.Равны ли в пределах ошибок опыта измеренное значение плотности жидкости= (0,95670,0003) г/см³и ее табличное значение_Т= (0,95610,0001) г/см³? Имеется или нет систематическая ошибка в этих измерениях?

Решение и ответ.Сумма абсолютных ошибок измеренного и табличного значений плотности равна 0,0004 г/см³, т. е. меньше разности по модулю их средних значений, равной 0,0006 г/см³. Поэтому результаты нельзя считать равными в пределах ошибок измерений. В измерениях имеется систематическая ошибка, которая привела к завышенному результату измерений по сравнению с табличным.

***