Производная функции одной переменной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции

Определение производной

Рассмотрим функцию , где(рис. 31). Возьмем произвольную точку. Для любогоразностьх – х₀называется приращением аргументах в точке х₀и обозначается. Таким образом,

Разность называется приращением функции в точкех₀.

Производной функции в точке х₀называется предел отношения приращения функциик приращению аргументапри, если этот предел существует и обозначается

Пример.Вычислим по определению производную функции в заданной точке:

1. 

2. 

Решение. Согласно определению производной, имеем:

1. ;

2. 

Ответ. 1) –3; 2) 4а + b; 3)

Задание. Вычислить по определению производную функции в заданной точке:

Решение. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ:

Функция, имеющая производную в точке х_0,называется дифференцируемой в этой точке. Если же функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то она дифференцируема на этом интервале. Необходимое условие существования производной вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Однако непрерывность функции в точке не является достаточным условием дифференцируемости функции в точке.

Пример.Функция непрерывна в точкех₀= 0, но не дифференцируема в ней, поскольку

Геометрический смысл производной

Рис. 7

Пусть непрерывная функция , где, дифференцируема в некоторой точке, а криваяL– график этой функции, содержащий точку. Выберем на кривойLпроизвольную точкуМ (х; у)и построим секущуюМ0М(см. рис. 7).ТочкуМможно выбрать сколь угодно близко в точкеМ0. Положение секущей при этом будет изменяться.

Касательной к кривой Lв точкеМ₀ Î Lназывается прямаяМ₀Т, занимающая предельное положение секущейМ₀М (МÎ L)приМ ® М₀ (если такое положение существует).

Геометрический смысл производной: производная функции в точкех₀ равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой х_{0: .}

Уравнение касательной к кривой Lв точке (х₀;f (х₀)), записанное как уравнение прямой, проходящей через точку (х₀;f (х₀)) и имеющей угловой коэффициентимеет вид:

или

.

Уравнение нормали к кривой (прямой, проходящей через точку кривой L с абсциссой х₀ перпендикулярно касательной) составляется аналогичным образом с учетом того, что ее угловой коэффициент равен:

,

то естьили.

Пример.Составим уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:

1. 

2. 

Решение.

1. 

Согласно определению производной, имеем:

Тогда уравнение касательной примет вид: или

Уравнение нормали запишем в виде:

2. 

Согласно определению производной, имеем:

Т

огда уравнение касательной примет вид:.

Уравнение нормали запишем в виде:

Механический смысл производной

Положим, что материальная точка движется прямолинейно по закону тогда ее средняя скорость за промежуток временивычисляется по формуле:

Как известно, мгновенной скоростью в момент времени t₀ называется предел (если он существует), которому стремится средняя скорость за промежуток временипри, т.е.

Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки в любой момент времени tесть производная от путиsпо времениt.

В этом состоит физический смысл производной.

Пример.Найдем скорость движения материальной точки в момент времениt = 4, если закон движения задан формулой:

Решение. Найдем по определению: , тогда