Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

1. Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд может сходиться только при условии, что его общий членu_nпри неограниченном увеличении номераnстремится к нулю :,

Если , то рядрасходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Пример. Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости:

Решение. Находим . Необходимый признак сходимости ряда выполняется.

2. Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

а) Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда: исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда. При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрический ряд

,

Который сходится при и расходится при, и гармонический ряд

Являющийся расходящимся.

При исследовании рядов используется также обобщенный гармонический ряд

Если p=1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если p<1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. Приp>1 имеем геометрический ряд, в котором: он является сходящимся. Итак, обобщённый гармонический ряд сходится приp>1 и расходится при.

Пример. Исследуйте сходимость ряда, применяя признак сравнения:

Решение.

Находим . Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом.

,

Который сходится, так как q=< 1.

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получаем неравенства

;; …. ;; ….,

Т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

б) Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

Выполняется условие , то ряд сходится приL< 1 и расходится приL> 1.

Признак Даламбера не даёт ответа, если L=1. В этом случае для исследования ряда применяются другие сравнения.

Пример. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

Решение. Подставив в общий член ряда вместоnчислоn+1, получим. Найдём предел отношения (n+1)-ого члена кn-му члену при:

.

Следовательно, данный ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

Решение.

Имеем ;;

;

,

т.е. ряд расходится.

Задание. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

Решение:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ: расходится.