Геометрические приложения определенного интеграла

Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке[а, b].Тогдапогеометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривойна[а, b] численно равна определенному интегралу , т.е.

Пример. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями,

Решение. Из рис. 11 видно, что искомая площадь Sкриволинейного треугольникаОАВравна разности двух площадей:

, '

каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла.

Рис. 11

Решая систему ,получаем, что точкаВпересечения прямой и кривойимеет координаты (2; 4). Тогда. Для вычисления второго интеграла определим вид подынтегральной функции, выразив из переменнуюу:.

Тогда получим:

О

кончательно(ед.² ).

Ответ: ед².

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое определенный интеграл?

2. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

3. В чем заключается формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла?

4. Какие вы знаете способы вычисления определенных интегралов?

5. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

Контрольное задание

1. Вычислить интегралы:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y=,y= 0,x= 1 иx=5.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Раздел 4. Ряды

В результате изучения раздела студент должен:

знать:

• определение числового ряда, остатка ряда, свойства рядов;

• необходимый и достаточные признаки сходимости рядом с положительными членами: признак сравнения, признак Даламбера;

• определение знакочередующихся рядов, признак Лейбница;

• определение абсолютной и условной сходимости произвольных числовых рядов;

уметь:

• по формуле n-го члена записывать числовой ряд;

• записывать формулу n-го члена числового ряда;

• исследовать на сходимость положительные ряды;

• исследовать на абсолютную и условную сходимость числовые ря­ды.

Основные понятия

Числовым рядом называется сумма вида

Где числа u₁,u₂,u₃, …. ,u_n, … называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; членu_nназывают общим членом ряда.

Пример.Записать ряд по его заданному общему члену: 1).

Решение. Придавая nзначения 1, 2, 3, …, имеем бесконечную последовательность чисел:;;; …. , .Сложив её члены, получим ряд

Пример. Записать ряд по его заданному общему члену:

Решение.

Придавая nзначения 1, 2, 3, … и учитывая, что 1! = 1,, 3! =…, получим ряд

Задание. Записать ряд по его заданному общему члену:

Решение.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:

Пример.Найтиn-й член ряда по его данным первым членам:

Решение: Знаменатели членов ряда, начиная с третьего, являются нечётными числами; следовательно, n-й член ряда имеет вид

Пример.Найтиn-й член ряда по его данным первым членам:

Решение. Числители членов ряда представляют собой квадратные корни из натуральных чисел, а их соответствующие знаменатели равны n!. Знаки чередуются по закону(-1)ⁿ. Общий член ряда имеет вид

Задание. Найтиn-й член ряда по его данным первым членам:

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:

Суммы:

. . . . . . . . . . .

составленные из первых членов ряда, называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S₁,S₂,S₃,….,S_nЕсли при бесконечном возрастании номераnчастичная сумма рядаS_nстремится к пределуS, то ряд называется сходящимся, а числоS– суммой сходящегося ряда, т.е.

или

Эта запись равносильна записи

Если частичная сумма S_nряда при неограниченном возрастанииnне имеет конечного предела ( в частности, стремится к +х или к – бесконечность), то такой ряд называют расходящимся.

Если ряд сходится, то значение S_nпри достаточно большомnявляется приближенным выражением суммы рядаS.

Разность r_n =S-S_nназывается остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е., и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Пример.

Найти сумму членов ряда

Решение.

Находим частичные суммы членов ряда:

^;;;

Запишем последовательность частичных сумм: .

Общий член этой последовательности есть . Следовательно,

Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, ряд сходится и его сумма равна.

Геометрический ряд.Рассмотрим несколько случаев нахождения частичной суммы первыхnчленов ряда, образованного из членов геометрической прогрессии.

1) . Для нахождения частичной суммыS_nвоспользуемся формулой суммы членов убывающей геометрической прогрессии:

гдеa₁– первый член,a_n=a₁q^n-1–n–ый член,q– знаменатель прогрессии.

Следовательно

Находим сумму ряда:

Поскольку первое слагаемое под знаком предела является постоянным, а второе – бесконечно малой величиной (qⁿ->0 приn->). Таким образом, в данном случае ряд сходится, а его сумма есть.

2) . Частичную суммуS_nнайдём по формуле суммы членов возрастающей геометрической прогрессии:

Тогда сумма ряда

Так как первое слагаемое под знаком предела есть бесконечно большая величина (при). В этом случае ряд расходится.

3) q=1. Находим

Следовательно . Значит, в данном случае ряд расходится.

4) q = -1. Имеем.

S₁ = a

S₂ = a – a =0

S₃ = a – a + a = a

S₄ = a – a + a – a = 0

. . . . . . . . . . . . . .

Т.е. S_n=0 приnчетном иS_n=aприnнечётном. Отсюда следует, что последовательность частичных сумм не имеет предела и, значит, ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при и расходится при. Ряд видабудем называть геометрическим рядом.

Гармонический ряд.Ряд вида

называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда:

Сумма S_n больше суммы представленной следующим образцом:

Или

Если , то

, или.

Следовательно, если , то, т.е. гармонический ряд расходится.