Вопросы для самоконтроля

1. Какая функция называется первообразной для заданной функции?

2. Если F(x) – первообразная дляf(x), то каким равенством связаны они между собой?

3. Как записать всю совокупность первообразных?

4. Что называется неопределенным интегралом?

5. В чем заключается правило интегрирования выражения, содержащего постоянный множитель?

6. В чем заключается правило интегрирования алгебраической суммы функций?

7. Как проверить результат интегрирования?

8. Какие вы знаете способы интегрирования и в чем они заключаются?

Контрольное задание

Найти интегралы:

1. 

__________________________________________________________________________

2. 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. 

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4*.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Определенный интеграл

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точекх₁, х₂,… и точекx₁, x₂,… Тогда этот предел называется определенным интегралом от функцииу=f(x) на[a; b],обозначается, а сама функцияу = f(x)называется интегрируемой на[a; b],т.е.

.

Свойства определенного интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е.

.

4. Если на отрезке [a; b]f(x) £ g(x), то и£.

5. Если функция у = f(x)непрерывна на отрезке[a; b], то найдется такое значениеx Î [a; b], что.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция у = f(x)непрерывна на отрезке[a; b]иF(x)первообразная функцией для функцииf(x)на отрезке[a; b].Тогда определенный интеграл от функцииf(x)на[a; b]равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е..

Пример. Вычислим следующие интегралы:

1) ; 2).

Решение. Эти задачи на непосредственное применение формулы Ньютона – Лейбница:

1) ;

2)

Задание. Вычислить

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: 3.

Задание. Вычислить

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: e- 1.

Метод замены переменной в определенном интеграле.

Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке,,и функциянепрерывна в каждой точке вида, где. Тогда справедливо следующее равенство:

Данная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Как видите, использование введения новой переменной в определенном интеграле производится аналогично тому, как это производилось в неопределенном интеграле. Однако в этом случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной. Достаточно рассчитать и подставить новые пределы интегрирования.

Пример.Вычислим.

Решение.

Положим . Тогда. Вычислим значения новых пределов интегрирования, подставив в формулу новой переменной исходные значения пределов:,. Воспользовавшись формулой замены переменной в определенном интеграле, получим:

Задание. Вычислить

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: - 1.

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле*

Пусть функции имеют непрерывные производные на отрезке. Тогда. Эта формула называетсяформулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример. Вычислим.

Решение.

Пусть ,

Тогдаи. Воспользовавшись формулой интегрирования по частям в определенном интеграле, получим:

Вы заметили, что при расчете была введена переменная.

Задание *. Вычислить

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: 8ln4 – 4 - .