1. Перестановки, сочетания, размещения Основные определения и обозначения

Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т.е. могут быть получены из того же самого множества), называются перестановками этого множества. Число различных перестановок изn элементов равно

Произвольное k – элементное подмножество n – элементного множества называется сочетанием из n элементов по k.

Число сочетаний изn элементов по k равно

Упорядоченные k – элементные подмножества из n элементов называются размещением из n элементов по k.

Число размещений изn элементов по k равно

Методические указания к решению задач

Применяя формулы числа перестановок, сочетаний и размещений, следует исходить из определений этих понятий.

Пример 7. Задано множество .

1. Составить всевозможные перестановки этого множества.

2. Всевозможные сочетания по два элемента.

3. Всевозможные размещения по два элемента.

Решение:

Пример 8. Сколько существует способов выбора из 7 человек комиссии, состоящей из 3 человек?

Решение. Число возможных составов комиссии равно числу всевозможных трехэлементных подмножеств множества, состоящего из 7 человек, т.е.

Пример 9. Сколькими способами можно разместить на полке 4 книги?

Решение. Искомое число способов равно числу способов упорядочения множества, состоящего из 4 элементов, т.е.

Пример 10. В студенческой группе 25 человек. Надо выбрать старосту группы, академорга и профорга. Сколькими способами может быть сделан выбор, если каждый член группы может занимать только один пост?

Решение. В данном примере из множества в 25 элементов нужно выбрать 3 элемента, но среди выбранных 3 элементов имеет значение порядок, так как здесь играет роль то, кто какой пост займет.

Например, выбор:

староста – Иванова, академорг – Алексеева, профорг – Петров отличается от выбора:

староста – Алексеева, академорг – Иванова, профорг – Петров.

Следовательно, число различных способов выбора равно числу размещений из 25 элементов по 3,

Пример 11. На профсоюзном собрании присутствует 50 человек. Необходимо выбрать делегацию из 5 человек на профсоюзную конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. В данном примере из множества в 50 элементов нужно выбрать подмножество из 5, порядок которых не играет роли. Поэтому число способов выбора делегации равно

Пример 12. Сколькими способами можно упорядочить множество так, чтобы каждое четное число имело четный номер?

Решение. Здесь можно рассматривать 2 объекта: четные и нечетные числа.

Мест с четными номерами n. Таким образом, четные числа можно расставить n! способами. Общее число искомых перестановок по правилу умножения равно

3. Перестановки и сочетания с повторениями Основные определения и обозначения

До сих пор мы рассматривали предметы, которые были попарно различны. А теперь рассмотрим совокупности, в которых имеются одинаковые предметы.

Пусть имеются предметы k различных типов, число предметов первого типа равно , второго типа -k-го типа -

Число различных перестановок, которые можно сделать из даных элементов, равно

Число m – элементарных подмножеств, порядок в которых не принимается во внимание, равно