МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. М. Андриенко

Дополнения к конспекту лекций по ТВ и МС

(элементы теории множеств и комбинаторики)

Одесса 2009

1. Элементы теории множеств

1.1 Основные определения теории множеств

Под множеством принято понимать совокупность объединенных по общим признакам различных предметов. Множества будем обозначать прописными латинскими буквами A, B,C, …, X, Y, Z, а элементы, принадлежащие данным множествам – строчными a, b, c, …, x, y, z. Если a есть элемент множества A, то пишут . Если a не является элементом множества A, пишут . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается . Рассматриваемое исходное множество называется универсальным и обозначаются U. Если все элементы множества A являются также элементами множества B, то говорят, что А включается в B или A является подмножеством множества B и обозначается. Если , то говорят, что A=B или A совпадает с B.

Диаграмами Ейлера-Вена называються фигури, с помощью которых изобрахают на плоскости множества и наглядно демонстрируют свойства операций над множествами. Прямоугольник на плоскости означает некоторое универсальное множество, которое включает в себя рассматриваемые множества.

Рисунок 1. Диграма Ейлера- Вена.

Объединением двух множеств A и B называется множество, составленное из элементов, входящих хотя бы в одно из данных множеств, оно обозначается . Соответствующая диаграмма Ейлера- Вена:

Рисунок 2. Объединение двух множеств.

Объединением некоторой совокупности множеств называется множество S, составленное из всех элементов, входящих хотя бы в одно из слагаемых множеств, и обозначаемое.

Пересечением двух множеств A и B называется множество, составленное из всех элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B, и обозначается . Соответствующая диаграмма Ейлера- Вена:

Рисунок 3. Пересечение двух множеств.

Два множества A и B называются непересекающимися, если их пересечение пусто.

Пересечением некоторой совокупности множеств называется множествоP, составленное из всех элементов, входящих во все множества , и обозначаемое.

Разностью двух множеств A и B называется множество, составленное из всех тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B. Разность обозначается A\B.

Рисунок 4. Разность двух множеств

Прямым (или декартовым) произведением двух множеств A и B называется множество всевозможных пар (x, y), где . Произведение множествA и B обознначается .

Дополнением к множеству A называется множество , состоящее из элементов универсального множества,U не принадлежащих множеству A, т.е. .

Рисунок 5. Дополнение к множеству A

Операции над множествами имеют следующие свойства:

1. Коммутативность: .

2. Ассоциативность: .

3. Дистрибутивность: .

4. Законы де Моргана: .

Рассмотрим пример.

Пример 1. Пусть

.

Найти .

Решение: объединение - это есть множество Следовательно, .

Пересечение - это множество Следовательно,

Разность A\B – это множество , т. е., аналогичноДополнение к множествуA – это множество ;

Литература

1. К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств.  М.: Мир, 1970.

2. В.И. Донской Дискретная математика.– Симферополь. : «Сонат». –2000.

2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

1. Общие правила комбинаторики

Основные определения и обозначения

К общим правилам комбинаторики относятся: правило умножения, правило сложения, формула включений и исключений.

Правило умножения. Если объект A можно выбрать m спосабами и если после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то выбор пары (A, B) можно осуществить m x n способами.

Правило сложения. Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор “либо А, либо В” можно осуществить m + n способами.

При использовании правила сложения необходимо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-нибудь способом выбора объекта В. Правила умножения и сложения справедливы для любого конечного числа объектов.