Методи статистичного опису результатів спостережень.

Результати спостережень генеральної сукупності, що записані в порядку їхньої реєстрації, звичайно важкі для огляду й незручні для подальшого аналізу. Задачім статистичного описання вибірки є одержання такого їїпредставлення, що дозволяє виявити характерні риси сукупності вихідних даних.

Вибіркові значення, розташовані в неспадному порядку, називаються варіаційним рядом. Різниця між максимальним і мінімальним елементами вибірки w називається розмахом вибірки.

Приклад 20. Записати у вигляді варіаційного ряду вибірку 3,5,1,0,3,4,1,2,2,3,5,4,4,2 і визначити розмах вибірки.

Варіаційний ряд: 0,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5. Розмах вибірки w = 5 - 0 = 5, n=14

Статистичним рядом називається таблиця, у якій зазначені вибіркові значення й частота їхніх появ у вибірці:

xx…x

mm…m, де n =.

Для варіаційного ряду , розглянутого у Прикладі 20, одержимо статистичний ряд

0 1 2 3 4 5

1 2 3 3 3 2 , n = = 14 .

При великому обсязі вибірки її елементи поєднуються в групи, представляючи результати експериментів у вигляді групованого статистичного ряду. Для цього інтервал, що містить всі елементи вибірки, розбивається на декілька інтервалів. Обчислення значно спрощуються,, якщо ці інтервали мають однакову довжину . Рекомендації з кількості інтервалів (груп) наведені в Таблиці 4. Після того як часткові інтервали обрані, визначають частоти – кількість mелементів вибірки, що потрапили в i – ий інтервал

(елемент, що збігається з верхньою границею інтервалу , відносять до наступного інтервалу).

Таблиця 4. Рекомендації з кількості груп в залежності від кількості даних

Кількість даних	Кількість груп
25-40	5-6
40-60	6-8
60-100	7-10
100-200	8-12
200-500 і більше	10-15

Поряд із частотами, підраховуються накопичені частоти , а також відносні частоти йнакопичені відносні частоти , де i – номер інтервалу , i = 1,2,…k... Всі обчислення зводяться в таблицю, яканазивається таблицею частот згрупованої вибірки.

Приклад 21. Представити вибірку спостережень у вигляді таблиці частот. Вибірка:

38. 60 41 51 33 42 45 21 53 60

68 52 47 46 49 49 14 57 54 59

77 47 28 48 58 32 42 58 61 30

61 35 47 72 41 45 44 55 30 40

67 65 39 48 43 60 54 42 59 50

У цьому випадку обсяг вибірки n = 50, розмах w = 77-14 = 63. Відповідно до Таблиці 4 число груп можна взяти від 6 до 8, тут зручно вибірку розбити на 7 груп, тоді довжина інтервалів буде 63/7 = 9. За перший інтервал приймемо інтервал 14 - 23. Результати групування зведені в Таблицю 5.

Таблиця 5. Таблиця частот групованої вибірки.

Номер інтервалу i	Границі інтервалу	Середина інтервалу z	Частота m	Накопичена частота	Відносна частота m/n	Накопичена відносна частота
1	14 - 23	18,5	2	2	0,04	0,04
2	23 - 32	27.5	3	5	0,06	0,10
3	32 -41	31,5	6	11	0,12	0,22
4	41 -50	45,5	17	28	0,34	0,56
5	50 -59	54,5	10	38	0,20	0,76
6	59 -68	63,5	9	47	0,18	0,94
7	68 -77	72,5	3	50	0,06	1,00

Статистичні ряди можна представити графічно. Для звичайного статистичного ряду графічне зображення називається полігоном. Полігон будується в такий спосіб: на осі Ox відкладається значення ознаки , а наOy – частота ), а потім отримані точки з'єднуються відрізками прямої лінії. Побудуємо полігон для варіаційного ряду, розглянутого в Прикладі 20 ( Рисунок 17).

Рисунок 17. Полігон

Згрупована вибірка представляється у вигляді гістограми, що будується так: по осі Ох відкладаються інтервали, а потім на цих інтервалах будуються прямокутники з висотою, рівній частоті даного інтервалу. Побудуємо гістограму за результатами Таблиці 5.

Рисунок 18. Гістограма частот.

Нехай - вибірка з генеральної сукупності з функцією розподілу F(x).Розподілом вибірки називається розподіл дискретної випадкової величини, що приймає значення з ймовірностями 1/n. Відповідна функція розподілу називаєтьсяемпіричної (вибіркової) функцією розподілу й позначається . Емпірична функція розподілу визначається за значеннями накопичених частот співвідношенням

, (44)

де підсумуються частоти тих елементів вибірки, для яких виконується нерівність x< x.

Розподілом двовимірної вибірки називається розподіл двовимірного дискретного випадкового вектора () , що приймає значення (, i=1,2,…,n, з ймовірностями, рівними 1/n.

Лекція 13.