55

Міністерство освіти і науки України

Одеський національний політехнічний університет

Конспект лекцій

з дисципліни «Теория ймовірностей та математична статистика»

для студентів спеціальності 7.050.102 «Економічна кібернетика»

денної та заочної форм навчання

Одеса ОНПУ 2009

Міністерство освіти і науки України

Одеський національний політехнічний університет

Конспект лекцій

з дисципліни «Теория ймовірностей та математична статистика»

для студентів спеціальності 7.050.102 «Економічна кібернетика»

денної та заочної форм навчання

Затверджено на кафедрі інформаційних систем у менеджменті

Протокол №8 від 22 квітня 2009р.

Одеса: ОНПУ, 2009

Конспект лекцій з дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика» для студентів спеціальності 7.050.102 «Економічна кібернетика» денної та заочної форм навчання / Укл.: В.М. Андрієнко, Н.М.Журавльова. – Одеса: ОНПУ, 2009. - 31 с.

Укладачі.: В.М. Андрієнко, канд. екон. наук, доц., Н.М.Журавльова,старший викладач

ЗМІСТ

Лекція 1. Деякі історичні відомості про виникнення

і розвиток теорії ймовірностей……………………………………………………4

Випадкові події. Стохастичний експеримент, простір елементарних

наслідків…………………………………………………………………………….5

Визначення випадкової події ………………………………………………….....6

Лекція 2 . Алгебра подій……………………………………………………………………….7

Класичне означення ймовірності………………………………………………...8

Статистична оцінка ймовірності………………………………………………......9

Лекції 3,4. Умовні ймовірності. Незалежність подій……………………………………….10

Формула повної ймовірності…………………………………………………….11

Формули Байеса…………………………………………………………………..12

Послідовність незалежних випробувань. Формула Бернуллі………………....13

Найімовірніше число появ події………………………………………………..14

Лекція 5. Випадкові величини. Оизначення випадкової величини……………………….15

Лекція 6. Числові характеристики випадкової величини…………………………………17

Лекція 7,8. Неперервні випадкові величини………………………………………………..20

Моменти випадкових величин…………………………………………………24

Лекція 9. Багатовимірні випадкові величини………………………………………………..26

Лекція 10,11. Граничні теореми……………………………………………………………...30

Лекція 12. Основні поняття математичної статистики. Методи

статистичного опису результатів спостережень………………………………36

Лекція 13. Числові характеристики вибіркового розподілу………………………………..38

Лекція 14. Методи оцінювання параметрів…………………………………………………41

Лекція 15,17 Довірчий інтервал . Перевірка статистичних гіпотез .....................................44

Лекція 18. Перевірка гіпотези про значимість коефіцієнта кореляції……………………..50

Критерій і його застосування………………………………………………..50

Список літератури…………………………………………………………………………… .54

Додатки…………………………………………………………………………………………55

Додаток 1. Значення функції щільністі нормального розподілу ,

…………………………………………………………….55

Додаток 2. Функція розподілу нормального закону;

, …………………., …………………………………………….57

Додаток 3. Квантилі розподілу Стьюдента ……………………………………….59

Додаток 4. Квантилі розподілу …………………………………………………..60

Додаток 5. Квантилі розподілу Фішера ………………………………………..62

Лекція 1.

Деякі історичні відомості про виникнення і розвиток теорії ймовірностей.

Теорія ймовірностей- це математична наука, що вивчає закономірності випадкових явищ. Виникнення теорії ймовірностей відноситься до середини XVII століття й пов'язане з іменами Гюйгенса (1629-1695), Паскаля (1623-1662),Ферма (1601-1665) і Я.Бернуллі (1654-1705). У переписці Паскаля й Ферма, викликаної задачами, поставленими азартними іграми, яки не укладалися в рамки математики того часу, поступово виникли такі важливі поняття, як ймовірність і математичне сподівання. При цьому, звичайно, відомі вчені, займаючись задачами азартних ігор, передбачали й фундаментальну роль науки, що вивчає випадкові явища. Вони були переконані в тому , що на базі масових випадкових подій можуть виникати чіткі закономірності. Формально-математичний апарат, за допомогою якого вирішувалися задачі, що виникали в теорії ймовірностей, зводився винятково до елементарних арифметичних і комбінаторних методів.

Вимоги з боку природознавства й суспільної практики (теорія помилок спостережень, задачі теорії стрілянини, проблеми статистики) привели до необхідності подальшого розвитку теорії ймовірностей і залучення аналітичного апарату. Особливо значну роль у розвитку аналітичних методів зіграли Муавр (1667-1754), Лаплас (1749-1827), Гаусс (1777-1855), Пуассон(1781-1840). Із середини XIX сторіччя й приблизно до двадцятих років ХХ сторіччя розвиток теорії ймовірностей пов'язаний значною мірою з іменами російських вчених - Чебишева П.Л. (1821-1894), Маркова А.А. (1856-1922), Ляпунова А.М. (1856-1918). Цей успіх російської науки був підготовлений діяльністю Буняковского В.Я. (1804-1889), який широко використовував дослідження із застосування теорії ймовірностей у статистиці, особливо в страховій справі й демографії.

Сучасний розвиток теорії ймовірностей характеризується загальним підйомом інтересу до неї, а також розширенням кола її практичних застосувань. Однією з найважливіших сфер застосування теорії ймовірностей є економіка. Багато економічних показників (продуктивність праці, заробітна плата, виробіток на одного робітника за зміну, страховий запас, резервні потужності, державні резерви, попит на товари виробника й ін.) є випадковими величинами. Прогнозування економічних явищ здійснюється на основі економетричного моделювання, регресійного аналізу, трендових і згладжуючих моделей, що опираються на теорію ймовірностей. Результати теорії ймовірностей використвуються для організації виробництва (статистичний контроль у виробництві). Велике значення має розробка статистичних методів керування якістю продукції в процесі виробництва. Для інженерної справи серйозну роль відіграє теорія надійності, що широко використвує методи теорії ймовірностей.

Ми визначили на самому початку теорію ймовірностей як науку, що вивчає випадкові явища. Який зміст вкладається в поняття «випадкове явище» ми розглянемо трохи пізніше, а зараз обмежимося деякими зауваженнями. У повсякденних уявленнях, життєвій практиці вважається, що випадкові події являють собою щось украй рідке, що йде врозріз сталому порядку речей, закономірному розвитку подій . Випадкові події, як вони розуміються в теорії ймовірностей, володіють рядом характерних особливостей; зокрема, всі вони відбуваються в масових явищах, здатних багаторазово повторюватися при відтворенні певного комплексу умов. Теорія ймовірностей не займається вивченням унікальних подій, які не допускають повторень .