25

Міністерство освіти і науки України

Одеський національний політехнічний університет

Методичні вказівки до виконання самостійних завдань

з дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика»

для студентів спеціальності 7.050.102 «Економічна кібернетика»

денної та заочної форм навчання

Одеса НОПУ 2009

Міністерство освіти і науки України

Одеський національний політехнічний університет

Методичні вказівки до виконання самостійних завдань

з дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика»

для студентів спеціальності 7.050.102 «Економічна кібернетика»

денної та заочної форм навчання

Затверджено на засіданні кафедри

інформаційних систем у менеджменті

Протокол №5 від 27 грудня 2007р

Одеса ОНПУ 2008

Методичні вказівки до виконання самостійних завдань з дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика» для студентів спеціальності 7.050.102 «Економічна кібернетика» денної та заочної форм навчання / Укл.: В.М. Андрієнко, В.О.Богданова – Одеса: ОНПУ, 2009. - 27 с.

Укладачі: В.М. Андрієнко, канд. екон. наук, доц.,

В.О.Богданова, асистент

ЗМІСТ

Додатки……………………………………………………………………………………………25

Додаток 1. Значення функції щільністі нормального розподілу ,

………………………………………………………………25

Додаток 2. Функція розподілу нормального закону;

, …………………., ………………………………………………27

Додаток 3. Квантилі розподілу Стьюдента …………………………………………29

Додаток 4. Квантилі розподілу …………………………………………………….30

Додаток 5. Квантилі розподілу Фішера ………………………………………….32

Вибір варианта завдання.

Номер варіанта для студентов денной форми навчання відповідає номеру студента у списку

журнала групи. Для студентів заочной форми навчання номер варіанта равен суме двох останніх ціфр шифра залікової книжці.

Розглянемо приклади розв’язовань типових задач по всім темам.

Тема 1. Випадкові події. Класичне означення ймовірності.

Теореми теорії ймовірностей.

Завдання № 1

Ціль завдання – закріплення знань основних понять теорії ймовірностей (випадковий експеримент, випадкова подія, ймовірність появи випадкової події). Придбання вмінь і навичок у виконанні операцій над подіями й у підрахунку ймовірностей настання випадкових подій. Завдання містить чотири задачі. Варіанти наведені в Таблиці 1.

Задача 1. У партії з s виробів r - бракованих. Визначити ймовірність того, що серед обраних навмання для перевірки g виробів виявляться бракованими:

а) рівно h виробів;

б) не більше h виробів.

Задача 2. У збиральний цех заводу надходять деталі із трьох автоматів. Перший автомат дає % браку, другий -%, третій -%. Визначити ймовірність влучення на зборку не бракованої деталі, якщо з кожного автомата в цех надійшло відповідно L, M, N деталей.

Задача 3. У збиральний цех заводу надходять деталі із трьох автоматів. Перший автомат дає % браку, другий -%, третій -%. З кожного автомата надійшло на зборку відповідно L, M, N деталей. Узята на зборку деталь виявилася бракованою. Знайти ймовірність того, що деталь надійшла з 1-го автомата.

Задача 4. Робітник обслуговує a верстатів. Ймовірність виходу верстата з ладу за зміну дорівнює p. Яка ймовірність того, що робітникові прийде ремонтувати c верстатів? Яке найімовірніше число верстатів, що вимагають ремонту за зміну?

Приклад виконання завдання.

1. У ящику перебуває 10 деталей, серед яких 3 бракованих. З ящика навмання витягають 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться:

а) дві браковані;

б) не більше одного бракованого;

в) хоча б одне браковане.

Розв’язання. а) Подія А - серед 5-ти витягнутих деталей 2 бракованих, а три доброякісних.

Для підрахунку m і n використаємо правило сполучень:

n =, P(A) ===.

б) Нехай подія А - серед обраних виробів не більше одного бракованого,

Розглянемо події: А- серед обраних виробів - жодного бракованого,

А- серед обраних виробів - один бракований.

Тоді А = А+ А, причому А, А- несумісні. По формулі додавання шукана ймовірність Р(А) =Р( А+ А) =Р(А) +Р(А),

Р(А) ===, Р(А) ===,

Р(А) = Р(А) =

в) Нехай подія В - серед обраних виробів хоча б один бракований.

Можна вирішити це завдання за допомогою формули додавання, але рішення буде значно простіше, якщо перейти до протилежної події - серед обраних виробів немає бракованих.

= А, Р() = Р (А) =, Р(В) = 1 - Р() = 1 -=

2. На двох автоматичних верстатах виготовляються однакові валики. Імовірність виготовлення валика вищого сорту на першому верстаті дорівнює 0,95 , а на другому - 0,80. Виготовлені на обох верстатах не розсортовані валики перебувають на складі, серед них валиків, виготовлених на першому верстаті, у три рази більше, ніж на другому. Визначити ймовірність того, що навмання взятий валик виявиться вищого сорту.

Позначимо А - подію, що складається в тім, що взятий навмання валик виявиться вищого сорту;

B- подія, що складається в тім, що взятий навмання валик

зроблений на першому верстаті;

B- подія, що складається в тім, що валик зроблений на другому

верстаті.

Застосувавши формулу повної ймовірності одержимо:

Р(А) = Р(В)Р(А/ В) + Р(В)Р(А/ В).

Оскільки валиків, зроблених на першому верстаті , в 3 рази більше, ніж на другому, то Р(В) =, Р(В) =.

У завданні дані умовні ймовірності: Р(А/ В) = 0,92 ,Р(А/ В) = 0,80.

Шукана ймовірність : Р(А) = = 0,89.

3. В умовах Приклада 2, узятий навмання валик виявився вищого сорту. Визначити ймовірність того, що він зроблений на першому верстаті.

Використовуючи позначення Приклада 2, по формулі Баейса одержимо:

Р(В/А) === 0,76.

4. Вироби деякого виробництва містять 5% браку. Знайти ймовірність того, що серед шести, узятих навмання виробів:

1. будуть два бракованих;

2. не буде бракованих;

3. буде хоча б один бракований.

Тут А – поява бракованого виробу, Р(А) = 0,05 , Р() = 1- 0,05 = 0,95,

n=6. По формулі Бернуллі

1. при m = 2, Р(6,2) = = 0,03;

2. при m = 0, Р(6,0) = (0,95) 0,73;

3. у цьому випадку завдання можна вирішити двома способами.

Перший спосіб. Використовуючи формулу додавання , одержимо

Р(6,1) + Р(6,2) = 0,27.

Другий спосіб. Перейдемо до протилежної події - серед обраних виробів немає бракованих. Ймовірність цієї події обчислена в п.2) і дорівнює 0,73. Тоді шукана ймовірність

Р(1 – 0,73 = 0,27.