4. Моменты распределения случайной величины

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, Заданную законом распределения:

X	1	2	5	100
p	0,6	0,2	0,19	0,01

Найдём мат. ожидание: .

Напишем закон распределения для :

X2	1	4	25	10 000
p	0,6	0,2	0,19	0,01

Найдём мат. ожидание: .

Видим, что М() значительно больше М(Х). Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины , соответствующее значению х=100 величины Х, стало равным 10 000, то есть значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала 0,01.

Таким образом, переход от М(Х) к М() позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина Х имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине , а тем более к величинам , и т.д., позволил бы ещё больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных, возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Обобщением основных числовых характеристик случайной величины являются её моменты. В теории вероятностей используют начальные и центральные моменты случайной величины.

Начальным моментом -ого порядка (обозначают через ) случайной величины называют число, равное математическому ожиданию случайной величины , т.е.

Центральным моментом -ого порядка (обозначают через ) случайной величины называют число, равное математическому ожиданию случайной величины , т.е.

Нетрудно видеть, что для дискретной случайной величины моменты будут выражаться через сумму, а для непрерывной – через интеграл.

Справедливо, в частности:

1. Условие нормировки: ;

2. Первый начальный момент равен ; ;

3. Второй центральный момент равен ;

4. Нормированный третий центральный момент называется коэффициентом асимметрии и служит характеристикой асимметрии или скошенности распределения случайной величины.

Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания. На практике определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции): если длинная часть кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна, если слева – отрицательна (см. рис.). Если , то можно сказать, что значения случайной величины распределены симметрично относительно математического ожидания, т.е. случайная величина имеет нормальное распределение.

5. С четвёртым центральным моментом связана величина, называемая эксцессом:

.

Эксцесс характеризует островершинность или плосковершинность распределения случайной величины (другими словами, эксцесс служит для оценки «крутости», то есть большего или меньшего подъёма кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой). Забегая немного вперёд, скажем, если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая; если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая (см. рис.). Для нормального распределения .

Замечания.

1. Для начальных и центральных моментов справедливы следующие соотношения:

2. Моменты непрерывной случайной величины аналогичны моментам твёрдого тела в механике. Так, если рассматривать бесконечный твёрдый стержень расположенный вдоль оси , то можем записать:

- масса стержня;

- координаты центра тяжести стержня;

- момент инерции стержня относительно начала координат;

- момент инерции стержня относительно оси перпендикулярной и проходящей через центр масс стержня.

3. Распределение вероятностей случайной величины можно интерпретировать как распределение массы стержня на прямой .

1 Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI-XVII вв.), когда область её применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша или, иными словами, математическое ожидание выигрыша.

7