Лекция 7 Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения случайной величины отвечает на вопрос, где расположены возможные значения случайной величины и какова вероятность их появления в том или ином интервале значений.

Часто на практике достаточно знать только некоторые характеристики случайной величины, то есть иногда выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. В теории вероятностей для общей характеристики случайной величины используют параметры, называемые числовыми характеристиками случайной величины.

Наиболее часто используют такие из них: математическое ожидание, дисперсия, мода, медиана, моменты распределения.

1. Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, равное сумме произведений всех возможных значений данной случайной величины на вероятность появления этих значений, т.е.

.

(или для случайной величины, имеющей счётное множество различных значений).

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число, равное

,

если значения этой случайной величины принадлежат промежутку . Если же значения случайной величины распределены по всей числовой оси , то

.

Из определения следует, что математическое ожидание случайной величины есть величина неслучайная, а постоянная. Кроме того, существуют случайные величины, у которых не существует.

В дальнейшем будет показано, что математическое ожидание приближённо равно среднему арифметическому всех возможных значений случайной величины, получаемых в результате опыта. Поэтому ещё называют средним значением случайной величины ¹.

Легко сообразить, что математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений случайной величины. Другими словами, на числовой оси возможные значения случайной величины расположены слева и справа от математического ожидания. В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения случайной величины и поэтому его часто называют центром распределения (последний термин заимствован из механики).

Свойства математического ожидания.

1. , где ;

2. - постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания;

3. ;

4. , где - независимые случайные величины (если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина).

Модой дискретной случайной величины называется её наибольшее вероятное значение .

Модой непрерывной случайной величины называется такое её значение , при котором плотность распределения имеет максимум, т.е.

.

Геометрически, мода – это абсцисса точки максимума кривой распределения случайной величины.

Медианой случайной величины называется такое её значение , относительно которого равновероятно, что данная случайная величина окажется больше или меньше медианы, т.е.

.

Геометрически, медиана – это абсцисса точки, в которой площадь области, ограниченная кривой распределения и осью , делится пополам.

Если распределение симметрично и имеет один максимум, то все три указанные характеристики совпадают. На рисунке изображён случай несимметричного распределения случайной величины.