Теор.вер. (лекции) / Лекция 4

ЛЕКЦИЯ 4

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

1. Формула полной вероятности¹

Постановка задачи: Пусть - полная система (группа) попарно несовместных событий (в дальнейшем эти события будем называть гипотезами) т. е.

или, что то же самое,

,

и пусть событие может произойти лишь совместно с каким-либо одним из этих событий (гипотез). Требуется найти вероятность события .

Выведем формулу решения этой задачи. Имеем

.

Здесь, очевидно ( см. постановку задачи ),

,

поэтому

.

Полученная формула называется формулой полной вероятности.

ПРИМЕР 1. Турист выходит из пункта В и наугад выбирает на развилке один из маршрутов (схема дорог). Какова вероятность того, что он попадет в пункт А ?

Решение. Как видим из схемы дорог, путь туриста обязательно проходит через один из пунктов . Тогда - гипотеза (предположение) которая состоит в том, что турист попал в пункт . Заметим, что события (гипотезы) попарно несовместны и равновероятны, т.е., очевидно, образуют полную группу событий: во-первых, и, во-вторых, . Событие - турист попал в пункт А. Тогда, нетрудно видеть (см. схему), что . Значит, по формуле полной вероятности, получаем:

.

ПРИМЕР 2 (о мудреце и властелине). Властелин, разгневавшись на мудреца, приказал отрубить ему голову. Но затем, смягчившись, дал мудрецу возможность попытаться спастись. Итак, властелин взял 2 белых и 2 черных шара и предложил мудрецу распределить их по своему усмотрению по двум одинаковым урнам. После чего, палач сначала наугад выберет одну из урн, а затем также наугад, не глядя, вытащит из неё один шар. Мудрец будет помилован, если вытянутый шар оказался белым. Какую стратегию распределения шаров по урнам должен выбрать мудрец, чтобы быть помилованным? Какова максимальная вероятность спастись мудрецу? Какая стратегия наименее выгодна для него?¹

Решение. Выдвинем гипотезы (предположения) , которые состоят в том, что палач вытащит шар из - ой урны ( ). Очевидно, что эти события и несовместны и их сумма является достоверным событием ( ), т.е. образуют полную группу (систему) событий. И пусть - это событие состоящее в том, что палачом вытянут белый шар.

Далее, рассмотрим следующие варианты распределения мудрецом шаров по урнам:

1). В первой урне 2 белых, а во второй 2 черных шара. Тогда ; . Следовательно .

2). В первой и во второй урнах по 1 белому и 1 черному шару. Тогда =. Следовательно . 

3). В первой урне 1 белый, а во второй 1 белый и 2 черных шара. Тогда ; . Следовательно . 

4). В первой урне 1 черный, а во второй 2 белых и 1 черный шары. Тогда ; . Следовательно .

5). Первая урна оказалась пустой, т.е. все шары во второй урне. Тогда; . Следовательно . 

Как видим, наиболее предпочтительной является 3-я стратегия, ей соответствует вероятность быть помилованным равная - действительно мудрое решение; наименее выгодна - последняя, 5 - я стратегия, где вероятность спастись равна - совсем не мудро!

2. Вероятность гипотез. Формула Байеса

Постановка задачи: Пусть - полная система (группа) попарно несовместных событий (гипотез) т. е.

и пусть событие может произойти лишь совместно с каким - либо одним из этих событий (гипотез) - ситуация аналогичная той, которая была ранее. И пусть . Требуется найти условную вероятность - ой гипотезы при условии, что событие произошло, т.е. - переоценка гипотез.

По теореме об умножении вероятностей

.

Следовательно

.

Или, с учетом того, что , можем записать:

.

Полученная формула называется формулой Байеса (Бейеса) для переоценки гипотез. Другими словами: вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, происшедшего при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

ПРИМЕР. При обследовании больного имеется подозрение (т.е. делаются предположения или, что то же самое, выдвигаются гипотезы) на одно из двух заболеваний . Их вероятности в данных условиях равны и соответственно. Для уточнения диагноза назначается обследование, результатом которого будет отрицательная или положительная реакция. В случае болезни вероятность положительной реакции равна 0,9 , а в случае болезни эта вероятность равна 0,5.

Обследования проведены дважды и оба раза реакция оказалась отрицательной. Найти вероятность каждого заболевания.

Решение. Во - первых, очевидно, что события образуют полную группу событий. Действительно, эти события несовместны, так как у больного имеется подозрение только лишь на одно из двух заболеваний и сумма событий - есть достоверное событие (обследуемый болен): . Во - вторых, если обозначить через событие, которое состоит в том, что оба обследования дали отрицательный результат, то . Таким образом, нетрудно видеть, что

;

.

Как видим, при данных результатах обследования следует предполагать болезнь .

1 Эта формула является следствием двух теорем - сложения и умножения.

1 Хотим заметить, что далеко не всегда властелины были глупыми людьми, не знающими математики. Так, например, Наполеон был немного математиком, интересовался, в частности, геометрией. Он вёл дискуссии с Лагранжем и Лапласом, когда ещё не был правителем Франции. Как-то в одной из таких дискуссий Лаплас резко оборвал Бонапарта: «Менее всего мы хотим от Вас, генерал, урока геометрии». В дальнейшем Лаплас стал его главным военным инженером.

Наполеону приписывают теорему: «Если на сторонах произвольного треугольника во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники, то их центры образуют равносторонний треугольник» - это так называемый вешний треугольник Наполеона.

Так же ему приписывают один из знаменитых палиндромов (читается в обе стороны одинаково): «ABLE WAS I ERE I SAW ELBA» - я был силён, пока не увидел Эльбу.

4