Лекция 12 Многомерные случайные величины

1. Многомерная случайная величина

До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости – дискретная одномерная величина; расстояние от орудия до места падения снаряда – непрерывная одномерная случайная величина. Однако, при изучении случайных явлений в зависимости от их сложности иногда приходится использовать две, три и более случайных величин. Например, точка попадания снаряда определяется не одной, а двумя случайными величинами – абсциссой и ординатой. При различных измерениях очень часто имеем дело с двумя или тремя случайными величинами.

Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных величин приводит к понятию системы случайных величин. Условимся систему нескольких случайных величин обозначать . Такая система называется также многомерной случайной величиной. При изучении системы случайных величин недостаточно изучить отдельно случайные величины, составляющие систему, а необходимо учитывать связи или зависимости между этими величинами.

При рассмотрении системы случайных величин удобно пользоваться геометрической интерпретацией системы. Например, систему двух случайных величин можно рассматривать как случайную точку на плоскости с координатами и или как случайный вектор на плоскости со случайными составляющими и . По аналогии, систему случайных величин можно рассматривать как случайную точку в – мерном пространстве или как – мерный случайный вектор¹.

В дальнейшем, при изучении системы случайных величин ограничимся подробным рассмотрением системы двух случайных величин.

2. Закон распределения вероятностей системы случайных величин

Законом распределения вероятностей системы случайных величин называется соответствие, устанавливающее связь между областями возможных значений данной системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Так же, как и для одной случайной величины, закон распределения системы случайных величин может быть задан в различных формах. Рассмотрим таблицу распределения вероятностей системы двух дискретных случайных величин. Пусть и – дискретные случайные величины, возможные значения которых , где . Тогда распределение системы таких случайных величин может быть охарактеризовано указанием вероятностей того, что случайная величина примет значение и одновременно с этим случайная величина примет значение . Вероятности фиксируются в таблице

			. . .
			. . .
			. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
			. . .

Такая таблица называется таблицей распределения вероятностей системы двух дискретных случайных величин с конечным числом возможных значений. Все возможные события при составляют полную группу несовместных событий, поэтому

.

При этом:

;

.

3. Функция распределения¹

Функцией распределения вероятностей системы двух случайных величин называется функция двух аргументов, равная вероятности совместного выполнения двух неравенств и , то есть .

Геометрически функцию распределения системы двух случайных величин можно интерпретировать как вероятность попадания случайной точки в левый нижний бесконечный квадрант с вершиной в точке плоскости (см. рис.).

Сформулируем основные свойства функции распределения вероятностей системы двух случайных величин (без доказательства):

1.

2.; (или ).

3. (или ).

4. ().

5. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов, то есть:

, если ;

, если .

6. Вероятность попадания случайной точки в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям (см. рис.) вычисляется по формуле:

=

=,

где .

4. Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин¹

Предположим, что функция распределения всюду непрерывна и дважды дифференцируема² (за исключением, быть может, конечного числа кривых). Тогда, смешанная частная производная функции

.

Функция называется плотностью распределения (или, дифференциальной функцией распределения) системы непрерывных случайных величин .

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

Зная плотность распределения , можно определить вероятность попадания случайной точки в произвольную область :

.

Используя последнюю формулу, выразим интегральную функцию распределения вероятностей системы двух непрерывных случайных величин через плотность распределения :

.

Рассмотрим некоторые свойства плотности распределения системы двух непрерывных случайных величин:

1. ;

2. , если случайная величина распределена на всей координатной плоскости (если же распределена в некоторой плоской области , то )

ПРИМЕР. Пусть плотность распределения системы двух случайных величин задана выражением:

.

Найти параметр А. Определить функцию распределения и вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами: , .

Решение. Использовав свойство 2 плотности распределения, найдём постоянную величину А:

Определим теперь интегральную функцию распределения:

.

Таким образом, нетрудно теперь найти вероятность попадания случайной точки в заданный прямоугольник :

.