
Лекция 12 Многомерные случайные величины
-
Многомерная случайная величина
До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости – дискретная одномерная величина; расстояние от орудия до места падения снаряда – непрерывная одномерная случайная величина. Однако, при изучении случайных явлений в зависимости от их сложности иногда приходится использовать две, три и более случайных величин. Например, точка попадания снаряда определяется не одной, а двумя случайными величинами – абсциссой и ординатой. При различных измерениях очень часто имеем дело с двумя или тремя случайными величинами.
Совместное
рассмотрение двух или нескольких
случайных величин приводит к понятию
системы случайных величин. Условимся
систему нескольких случайных величин
обозначать
.
Такая система называется также многомерной
случайной величиной.
При изучении системы случайных величин
недостаточно изучить отдельно случайные
величины, составляющие систему, а
необходимо учитывать связи или зависимости
между этими величинами.
При рассмотрении
системы случайных величин удобно
пользоваться геометрической интерпретацией
системы. Например, систему двух случайных
величин
можно рассматривать как случайную точку
на плоскости
с координатами
и
или как случайный вектор на плоскости
со случайными составляющими
и
.
По аналогии, систему
случайных величин можно рассматривать
как случайную точку в
– мерном пространстве или как
– мерный случайный вектор1.
В дальнейшем, при изучении системы случайных величин ограничимся подробным рассмотрением системы двух случайных величин.
-
Закон распределения вероятностей системы случайных величин
Законом распределения вероятностей системы случайных величин называется соответствие, устанавливающее связь между областями возможных значений данной системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.
Так же, как и для
одной случайной величины, закон
распределения системы случайных величин
может быть задан в различных формах.
Рассмотрим таблицу распределения
вероятностей системы двух дискретных
случайных величин. Пусть
и
– дискретные случайные величины,
возможные значения которых
,
где
.
Тогда распределение системы таких
случайных величин может быть
охарактеризовано указанием вероятностей
того, что случайная величина
примет значение
и одновременно с этим случайная величина
примет значение
.
Вероятности
фиксируются в таблице
-
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
Такая таблица
называется таблицей распределения
вероятностей системы двух дискретных
случайных величин с конечным числом
возможных значений. Все возможные
события
при
составляют полную группу несовместных
событий, поэтому
.
При этом:
;
.
-
Функция распределения1
Функцией
распределения вероятностей системы
двух случайных величин называется
функция
двух аргументов, равная вероятности
совместного выполнения двух неравенств
и
,
то есть
.
Геометрически
функцию распределения системы двух
случайных величин можно интерпретировать
как вероятность попадания случайной
точки
в левый нижний бесконечный квадрант с
вершиной в точке
плоскости
(см. рис.).
Сформулируем основные свойства функции распределения вероятностей системы двух случайных величин (без доказательства):
1.
2.;
(или
).
3.
(или
).
4.
(
).
5. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов, то есть:
,
если
;
,
если
.
в произвольный прямоугольник со
сторонами, параллельными координатным
осям (см. рис.) вычисляется по формуле:
=
=,
где
.
4. Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин1
Предположим, что
функция распределения
всюду непрерывна и дважды дифференцируема2
(за исключением, быть может, конечного
числа кривых). Тогда, смешанная частная
производная функции
.
Функция
называется плотностью распределения
(или, дифференциальной функцией
распределения) системы непрерывных
случайных величин
.
Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.
Зная плотность
распределения
,
можно определить вероятность попадания
случайной точки
в произвольную область
:
.
Используя последнюю
формулу, выразим интегральную функцию
распределения вероятностей системы
двух непрерывных случайных величин
через плотность распределения
:
.
Рассмотрим некоторые свойства плотности распределения системы двух непрерывных случайных величин:
1.
;
2.
,
если случайная величина
распределена на всей координатной
плоскости (если же
распределена в некоторой плоской области
,
то
)
ПРИМЕР.
Пусть плотность распределения системы
двух случайных величин
задана выражением:
.
Найти параметр А.
Определить функцию распределения
и вероятность попадания случайной точки
в прямоугольник
с вершинами:
,
.
Решение. Использовав свойство 2 плотности распределения, найдём постоянную величину А:
Определим теперь интегральную функцию распределения:
.
Таким образом,
нетрудно теперь найти вероятность
попадания случайной точки
в заданный прямоугольник
:
.