2. Теоретические и эмпирические частоты. Критерии согласия.

Эмпирические частоты получают в результате опыта (наблюдения). Теоретические частоты рассчитывают по формулам. Для нормального закона распределения их можно найти следующим образом:

, (_*)

где – сумма эмпирических (наблюдаемых) частот; – разность между двумя соседними вариантами (то есть длина частичного интервала); – выборочное среднее квадратическое отклонение; ; – выборочная средняя арифметическая; – середина -го частичного интервала; значения функции находят по таблице (см. приложения).

Обычно эмпирические и теоретические частоты различаются. Возможно, что расхождение случайно и связано с ограниченным количеством наблюдений; возможно, что расхождение неслучайно и объясняется тем, что для вычисления теоретических частот выдвинута статистическая гипотеза о том, что генеральная совокупность распределена нормально, а в действительности это е так. Распределение генеральной совокупности, которое она имеет в силу выдвинутой гипотезы, называют теоретическим.

Возникает необходимость установить правило (критерий), которое позволяло бы судить, является ли расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями случайным или значимым. Если расхождение окажется случайным, то считают, что данные наблюдений (выборки) согласуются с выдвинутой гипотезой о законе распределения генеральной совокупности и, следовательно, гипотезу принимают. Если же расхождение окажется значимым, то данные наблюдений не согласуются с выдвинутой гипотезой, и её отвергают.

Критерием согласия называют критерий, который позволяет установить, является ли расхождение эмпирического и теоретического распределений случайным или значимым, то есть согласуются ли данные наблюдений с выдвинутой статистической гипотезой или не согласуются.

Имеются несколько критериев согласия: критерий (Пирсона), критерий Колмогорова, критерий Романовского и др. Ограничимся описанием того, как критерий применяется к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности¹ (предлагаем студентам написать рефераты по различным критериям согласия и их применению).

Допустим, что в результате наблюдений получена выборка:

Значения признака			. . .
Эмпирические частота			. . .
причём

Выдвинем статистическую гипотезу: генеральная совокупность, из которой извлечена данная выборка, имеет нормальное распределение. Требуется установить, согласуется ли эмпирическое распределение с этой гипотезой. Предположим, что по формуле (_*) вычислены теоретические частоты . Обозначим среднее арифметическое квадратов разностей между эмпирическими и теоретическим частотами, взвешенное по обратным величинам теоретических частот:

.

Чем больше согласуются эмпирическое и теоретическое распределения, тем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты и тем меньше значение . Отсюда следует, что характеризует близость эмпирического и теоретического распределений. В разных опытах принимает различные, заранее неизвестные значения, то есть является случайной величиной. Плотность вероятности этого распределения (для выборки достаточно большого объёма) не зависит от проверяемого закона распределения, а зависит от параметра , называемого числом степеней свободы. Так при проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности , где – число групп, на которые разбиты данные наблюдений. Существуют таблицы (см. приложения), в которых указана вероятность того, что в результате влияния случайных факторов величина примет значение не меньше вычисленного по данным выборки .

Для определённости примем уровень значимости 0,01. Если вероятность, найденная по таблицам, окажется меньше 0,01, то это означает, что в результате влияния случайных причин наступило событие, которое практически невозможно. Таким образом, тот факт, что приняло значение , нельзя объяснить случайными причинами; его можно объяснить тем, что генеральная совокупность не распределена нормально и, значит, выдвинутая гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности должна быть отвергнута. Если вероятность, найденная по таблицам, превышает 0,01, то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности согласуется с данными наблюдений и поэтому может быть принята. Полученные выводы распространяются и на другие уровни значимости.

На практике надо, чтобы объём выборки был достаточно большим () и чтобы каждая группа содержала 5 – 8 значений признака.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности нужно:

1. вычислить теоретические частоты по формуле (_*);

2. вычислить , где – соответственно частоты эмпирические и теоретические;

3. вычислить число степеней свободы , где – число групп, на которые разбита выборка;

4. выбрать уровень значимости;

5. найти по таблице (см. приложения) по найденным и вероятность , причём, если эта вероятность меньше принятого уровня значимости, то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергают; если же вероятность больше уровня значимости, то гипотезу принимают.

ПРИМЕР 5. Проверить, согласуются ли данные выборки со статистической гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности, из которой извлечена выборка:

варианта	15	20	25	30	35	40	45	50	55
частота	6	13	38	74	106	85	30	10	4

Решение. Вычислим выборочное среднее и выборочную дисперсию:

; .

Далее, вычислим теоретические частоты по формуле (_*):

15	6	– 19,7	– 2,67	0,0113	3
20	13	– 14,7	– 1,99	0,0551	14
25	38	– 9,7	– 1,31	0,1691	42
30	74	– 4,7	– 0,63	0,3271	82
35	106	0,3	0,05	0,3984	99
40	85	5,3	0,73	0,3056	76
45	30	10,3	1,41	0,1476	37
50	10	15,3	2,09	0,0449	11
55	4	20,3	2,77	0,0086	2

Найдём . Вычислим число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки . Уровень значимости примем равным 0,01. По таблице (см. приложения) при и находим вероятность ; при вероятность . Используя линейную интерполяцию, получаем приближённое значение искомой вероятности 0,16 > 0,01.

Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

1 Интервал имеет случайные концы (их называют доверительными границами). Действительно, в разных выборках получаются различные значения . Следовательно от выборки к выборке будут изменяться и концы доверительного интервала, то есть доверительные границы сами являются случайными величинами – функциями от . Так как случайной величиной является не оцениваемый параметр , а доверительный интервал, то более правильно говорить не о вероятности попадания в доверительный интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал покроет .

1 Обычно при выполнении пп. 4 – 7 используют статистику с нормальным распределением, статистику Стьюдента, Фишера.

2 То есть – с математическим ожиданием.

1 Критерий применяется аналогично и для других распределений

12