Лекция 13 Многомерные случайные величины
(продолжение)
7. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого определения следует, что условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям. Укажем необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.
ТЕОРЕМА 1:
Для того чтобы случайные величины
и
были независимыми, необходимо и
достаточно, чтобы функция распределения
системы
была равна произведению функций
распределения составляющих:
ТЕОРЕМА 2:
Для того чтобы случайные величины
и
были независимыми, необходимо и
достаточно, чтобы плотность вероятности
системы
была равна произведению плотностей
вероятностей составляющих:
.
Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики, к которым относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.
Корреляционным
моментом
случайных величин
и
называют математическое ожидание
произведения отклонений этих величин:
.
Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу:
,
а для непрерывных величин:
.
Корреляционный
момент служит для характеристики связи
между величинами
и
.
ТЕОРЕМА 3:
Корреляционный момент двух независимых
случайных величин
и
равен нулю.
Замечание:
из теоремы 3 следует, что если корреляционный
момент двух случайных величин
и
не равен нулю, то
и
– зависимые случайные величины.
Коэффициентом
корреляции
случайных величин
и
называют отношение корреляционного
момента к произведению средних
квадратических отклонений этих величин:
.
Очевидно, коэффициент
корреляции двух независимых случайных
величин равен нулю (так как
).
8. Коррелированность и зависимость случайных величин
Две случайные
величины
и
называются коррелированными,
если их корреляционный момент (или
коэффициент корреляции) отличен от
нуля;
и
называют некоррелированными
величинами, если их корреляционный
момент равен нулю.
Две коррелированные величины также и зависимы. Обратное утверждение не всегда имеет место, то есть если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равным нулю, но может и равняться нулю.
Заметим, что для нормально распределённых составляющих двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.
Если
,
то
и
связаны линейной зависимостью
,
Если
,
то говорят о положительной (или прямой)
корреляции между
и
,
то есть с возрастанием одной случайной
величины другая случайная величина
также возрастает.
Если
,
то говорят об отрицательной корреляции
между
и
,
то есть с возрастанием одной случайной
величины другая случайная величина
убывает.