Частным случаем автомата является автомат без памяти, выходное состояние которого зависит от входного. На этапе построения логической схемы автомат принято считать состоящим из двух частей: логического преобразователя (автомата без памяти) и памяти.

Общий вид построения графа. Две вершины Sp и St ( исходное состояние и состояние перехода ) соединяются дугой, направленной от Sp к

только входной сигнал xk .

Пример табличного и графического представления автомата Мили A1:

Таблица 5.3.

X2/Y1

S1

X1/Y1

X1/Y1

X1/Y2

X2/Y2

S2 S3

X2/Y1

рис.5.1.

Пример табличного и графического представления автомата Мура A2 . Таблица 5.4.

x1

s5/y3 s2/y1

x1

s4/y2 s3/y3

рис.5.2.

Связь между автоматами Мили и Мура.

Два автомата AA и AB с одинаковыми входными и выходными алфавитами называются эквивалентными , если после установления их в начальное состояние их реакции на любое входное слово совпадают. Для любого автомата Мили существует эквивалентный ему автомат Мура и наоборот. Рассмотрим сначала взаимные преобразования автоматов:

автомат Мура в эквивалентный ему автомат Мили и наоборот.

Схема преобразования Мура в Мили.

преобразуется в два состояния (s1, y1) и (s1, y2 ) (обратите внимание на дуги, входящие в состояние s1 , и выходные буквы на них - y1 , y2 ). Для удобства

переобозначим их соответственно: s1′ и s2′ . Тогда s1 ={ s1′, s2′ }- множество “расщепленных” состояний. Аналогично происходит с другими состояниями.

В результате получим:

S1 = {(S1, y1),(S1, y2 )} = {S1' ,S2' }; S2 = {(S2 , y1)} = {S3' };

S3 = {(S3, y1),(S3, y2 )} = {S4' ,S5'};

S'= S1 S2 S3 = {S1'; ,S2' ,S3' ,S4' ,S5'}

λ'(S1' ) = λ'(S3' ) = λ'(S4' ) = y1;λ'(S2' ) = λ'(S5' ) = y2;

Согласно схеме б), получим следующие переходы:

-из (s1, y1)[ s1′] и (s1, y2 ) [ s2′ ] переходим в состояние (s3, y1) [ s4′];

-из (s1, y1)[ s1′] и (s1, y2 ) [ s2′ ] переходим в состояние (s1, y1)[ s1′];

-из (s2, y1) [ s3′ ] переходим в состояние (s1, y1)[ s1′];

-из (s2, y1) [ s3′ ] переходим в состояние (s3, y2 ) [ s5′];

-из (s3, y1) [ s4′] и (s3, y2 ) [ s5′] переходим в состояние (s1, y2 ) [ s2′ ];

-из (s3, y1) [ s4′] и (s3, y2 ) [ s5′] переходим в состояние (s2, y1) [ s3′ ]; Графическое и табличное представление полученного автомата Мура

A1′ приведены на рисунке 5.4. и в таблице 5.5.

Таблица 5.5.

рис.5.4.

Пример 5.2. Рассмотрим преобразования автомата Мура A2 (табл.5.4) в автомат Мили A2 ' (рис.5.1). Поскольку оно простое, приведем готовый результат:

Таблица 5.6.

Пример 5.3. Реакция автомата на входное слово.

Пусть на вход автомата Мили A1 и эквивалентного ему автомата Мура

A1′ поступает входное слово ξ = x1x1x2x1x2x2 . Рассмотрим реакцию автоматов на данное входное слово. Для автомата Мили имеем:

δ(S1 , X1 )= S3 ;λ(S1 , X1 )= y1 , т.е. под действием буквы X1 автомат переходит в состояние S3 с выходом Y1 . При поступлении следующей буквы X1 на вход A1 получаем :δ(S3 , X1 )= S1;λ(S1 , X1 )= y2 и т.д. Ниже приведена последовательность

Последовательность преобразования входных букв в выходные с учетом изменения состояний выглядит аналогично предыдущему случаю для

точностью до сдвига на один такт. Так будет и в общем случае. Поскольку

автоматы A1 и A1′ эквивалентны, и к тому же одного типа, то их реакции (т.е. выходные слова) будут совершенно одинаковы. Проверка этого утверждения предоставляется студентам.

Практическая работа №6.

Тема: Машина Тьюринга.

Цель: Изучить работу машин Тьюринга , их представление и операции производимые над машинами Тьюринга.

Машиной Тьюринга будем называть конечный автомат G =< X ,Y, A,δ,λ > , снабженный бесконечной лентой и читающей головкой. Здесь:

X = {x0 , x1 , x2 ,..., xn }- входной алфавит, содержащий пустую букву x0 .

- где М={ R,L,S }. R- сдвинуться вправо, L- влево, S - стоять на месте.

A = {a0 ,a1 ,...,am } - множество внутренних состояний a1 ,…,am , a0 - СТОП состояние (состояние, в котором Машина Тьюринга не

Задавая МТ, вместо двух функций можно пользоваться одной (совмещающей

описывает работу МТ и называется логической функцией машины Тьюринга.

Таблица этой функции называется функциональной схемой или программой машины Тьюринга. На каждом такте работы МТ читающая головка обозревает некоторую ячейку, и сама МТ находится в некотором состоянии – т.е. имеется некоторая входная пара ( xi ,sj ). В зависимости от входной пары ( xi ,sj ) МТ

выполняет команду ( xk ,α,sl ), т.е. записывает в обозреваемую ячейку символ x k , передвигает головку в зависимости от значения α и переходит в новое состояние Sl . Если на некотором этапе работы МТ приходит в Стоп - состояние, то дальнейших изменений в машине не происходит, и машина называется остановившейся. Последовательность входных букв, записанных в ячейку ленты, будем называть входным словом. Совокупность слова на ленте и состояния МТ для обозреваемой в данный момент ячейки ленты называется конфигурацией в МТ. Конфигурация указывает входную пару и определяет дальнейшую работу МТ. Если из некоторой начальной конфигурации через некоторое конечное число тактов МТ приходит к СТОП - состоянию, то будем говорить, что МТ применима к входному слову и последовательность символов на ленте в момент остановки будем называть результатом преобразования входного слова МТ при данной начальной конфигурации или просто выходным словом. Если же СТОПсостояние МТ не наступает, то говорим, что МТ не применима к входному слову при данной начальной конфигурации.

Поскольку МТ преобразует допустимые входные слова в некотором алфавите в выходные слова в том же алфавите, то с математической точки зрения МТ - это просто определённый алгоритм для преобразования машинных слов. Тем самым, при помощи машин Тьюринга уточняется

интуитивное понятие алгоритма.

Пример 6.1. Задана МТ G таблицей 8.1. и имеет следующие алфавиты и функции.

Рассмотрим два входных слова: ξ1 =x1x0x1x1x0 и ξ2 = x0x0x0x0x0 .

Для них будет следующее представление на ленте:

Здесь подчеркнутая цифра обозначает присутствие под ней считывающей головки машины Тьюринга. МТ G применима к первому входному слову при конфигурации - 1 и неприменима к пустой ленте (конфигурация -2) .

Условимся кодировать натуральные числа ( с нулем ) на ленте МТ, в алфавит которой входят буквы “0”(ноль) и “1”(единица), следующим образом: 0 →1,n →111...1n +1

Говорят, что МТ стандартно воспринимает натуральное число n в состоянии Si , если на ее ленте имеется конфигурация:

(L) n+1 (R)

...0111...1...,

Si

где L - левая зона (без ограничений), R - правая зона (обязательно пустая), читающая головка находится под крайней левой единицей. Аналогично, МТ стандартно воспринимает набор (n1,n2 ,...,nn +1,nn ) в состоянии Si , если на ее ленте имеется конфигурация:

воспринимающая набор (α1,...,αn ) в начальном состоянии, через конечное число тактов приходит в СТОП – состояние, имея на ленте число y0 .

2. M не применима к наборам, на которых функция f (x1,..., xn ) не определена.

Частичная функция называется вычислимой по Тьюрингу, если существует вычисляющая ее МТ. Вычислимость по Тьюрингу является точным (не интуитивным) понятием.

Пример 6.2. Функция

существует МТ B, которая вычисляет ее. Таблица МТ В приведена ниже. Таблица 5.2.

Операции над машинами Тьюринга.

Пусть М1 и М2 - машины Тьюринга с общим алфавитом. Композицией

следующим образом: если на вход машины М подать входное слово Р, то оно сначала преобразуется машиной М1 , а затем полученное выходное слово подается на вход машиныМ2 , и выходное слово машины М2 считается результатом преобразования входного слова Р машиной М: М (Р) = М 2 (М1(Р)).

Если известны схемы машин М1 и М2 , то схема композиции М = М2 oМ1 строится следующим образом:

1.СТОП - состояние машины М 1 отождествляется с начальным состоянием машины М2 ;

2.СТОП - состояние машины М2 объявляется СТОП - состоянием

композиции М = М2 oМ1 ;

3. Остальные состояния М2 переобозначаются.

Пусть даны три МТ с общим алфавитом - M 1 ,M 2 ,M 3 и некоторое условие

Г. МТ M = M 1 M 2 называется разветвлением машины M 1 на машины M 2 и

M 3

M 3 по признаку Г, если она работает следующим образом: входное слово Р подается на вход машины M 1 , результат М1(Р) подается на вход M 2 , если условие Г выполнено, и на вход M 3 в противном случае.

При построении машины М можно считать, что M 1 имеет два СТОП - состояния q0' и q0" , таких, что машина M 1 приходит в состояние q0' в том случае, когда для М1(Р) выполнено условие Г, и в q0" в противном случае.